뒤틀린 K이론

K이론에서, 뒤틀린 K이론(뒤틀린K理論, 영어: twisted K-theory)은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다.^[1]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 하우스도르프 콤팩트 공간 ${\displaystyle M}$
• 3차 특이 코호몰로지류 ${\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}$

임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 프레드홀름 작용소의 공간을

${\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$

라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 사영 유니터리 군

${\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} _{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1}$

을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간 ${\displaystyle \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}$이다.

${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

따라서, ${\displaystyle H}$에 대응되는 ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$-주다발

${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}$

을 고를 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$는 ${\displaystyle P}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$ 위의 오른쪽 군 작용을 갖는다.

${\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}$

따라서, 등변 함수

${\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$

의 개념을 정의할 수 있다.

등변 호모토피류를 통한 정의

${\displaystyle M}$의, ${\displaystyle H}$에 대한 뒤틀린 K군은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합

${\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}$

이다.

단면 호모토피류를 통한 정의

연관 벡터 다발

${\displaystyle P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$

를 생각하자. ${\displaystyle M}$의, ${\displaystyle H}$에 대한 뒤틀린 K군은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]_{M}}$

연산

뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')}$

즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다.

예

일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 즉, 어떤 위상 공간 ${\displaystyle M}$의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}$

즉, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 자명한 ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$-주다발

${\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$

을 정의하였을 때, 함수

${\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}$

가운데 ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}$

이제, 위 구성을 자명한 ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$-주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 사영 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$은 따라서, ${\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$-주다발은 ${\displaystyle M}$의 3차 코호몰로지류 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}$로 분류된다.

응용

뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다.^[2] 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다.

역사

막스 카루비(프랑스어: Max Karoubi)와 피터 도노번(영어: Peter Donovan)이 1960년대 말에 도입하였다.^[3][4]

같이 보기

• 물리학에서 K이론
• 베스-추미노-위튼 모형
• 다발 제르브