프레드홀름 작용소

함수해석학에서 프레드홀름 작용소(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 핵과 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 지표(指標, 영어: index 인덱스^[*])라고 한다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이라고 하자. ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-유계 작용소 ${\displaystyle T\in B(X,Y;\mathbb {K} )}$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-유계 작용소를 프레드홀름 작용소라고 한다.

• ${\displaystyle T}$의 핵 ${\displaystyle \ker T=T^{-1}(0)}$과 여핵 ${\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {im} T}$이 유한 차원의 벡터 공간이다.^[1]:156 여기서 ${\displaystyle Y/\operatorname {im} T}$는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
• 핵 ${\displaystyle \ker T}$과 여핵 ${\displaystyle \operatorname {coker} T}$이 유한 차원이며, 또한 그 상 ${\displaystyle T(X)}$가 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle T}$는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$가 존재하여, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}-ST}$와 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}-TS}$ 둘 다 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소 ${\displaystyle T}$의 지표 ${\displaystyle \operatorname {ind} T}$는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.

${\displaystyle \operatorname {ind} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T}$.

성질

연산에 대한 닫힘

프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소

${\displaystyle X{\xrightarrow {T}}Y{\xrightarrow {U}}Z}$

가 주어졌을 때, ${\displaystyle U\circ T\colon X\to Z}$ 역시 프레드홀름 작용소이며,

${\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T)}$

이다.

프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 프레드홀름 작용소 ${\displaystyle F\colon X\to Y}$와 콤팩트 작용소 ${\displaystyle K\colon X\to Y}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle \operatorname {ind} (F+K)=\operatorname {ind} (F)}$

이다.

위상수학적 성질

${\displaystyle \mathbb {K} }$-유계 작용소의 공간 ${\displaystyle \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )}$에 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합

${\displaystyle \operatorname {Fred} (X,Y;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (X,Y;\mathbb {K} )}$

은 그 속의 열린집합이다.

아티야-싱어 지표 정리

 이 부분의 본문은 아티야-싱어 지표 정리입니다.

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.

예

만약 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.

밀기

분해 가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 정규 직교 기저

${\displaystyle (e_{i})_{i=0}^{\infty }}$

를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator)

${\displaystyle S\colon e_{i}\mapsto e_{i+1}\qquad \forall i\in \mathbb {N} }$

를 생각할 수 있다. 이 경우

${\displaystyle \ker S=\{0\}}$

${\displaystyle \operatorname {im} S=\left(\operatorname {Span} _{\mathbb {K} }\{e_{0}\}\right)^{\perp }}$

이므로

${\displaystyle \operatorname {ind} S=\dim \ker S-\dim \operatorname {coker} S=-1}$

이다.

역사

적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름^[2][3]의 이름을 땄다.