디리클레 베타 함수

수학에서 디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function) 혹은 카탈랑 베타 함수(Catalan beta function)는 리만 제타 함수와 밀접한 관련이 있는 특수 함수이다. 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

디리클레 베타 함수

정의

디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}$

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx}$

특별한 값

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G}$, 여기서 ${\displaystyle G}$는 카탈랑 상수를 의미한다.

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

${\displaystyle 0}$ 이상의 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여 ${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}}$이다. 여기서 ${\displaystyle {E_{n}}}$는 오일러 수를 의미한다.

오일러 수 ${\displaystyle {E_{n}}}$은 ${\displaystyle n}$이 홀수일 때 ${\displaystyle 0}$이기 때문에, ${\displaystyle k}$가 홀수일 때 ${\displaystyle \beta (-k)=0}$임을 알 수 있다.

표

s	β(s)	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665
1/4	0.5907230564424947318659591
1/3	0.6178550888488520660725389
1/2	0.6676914571896091766586909	A195103
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

같이 보기

• 후르비츠 제타 함수
• 디리클레 L-함수
• 디리클레 에타 함수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet Beta Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.