카탈랑 상수

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카탈랑 상수(Catalan's constant)는 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다.

정의

카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}$

여기서 β는 디리클레 베타 함수를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A006752)

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 6천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

표현

카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}$

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\!}$

${\displaystyle G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!}$

알려진 자릿수

카탈랑 상수 G의 알려진 세계 신기록 자릿수는 지난 몇십년간 급격하게 증가하였다. 이는 컴퓨터 성능의 향상과 알고리즘적 개선으로 인한 것이다.^[1]

카탈랑 상수 G의 알려진 십진 자릿수

일자	십진 자릿수	발견자
1832년	16	토마스 클라우센
1858년	19	칼 요한 힐
1864년	14	외젠 샤를 카탈랑
1877년	20	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1913년	32	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1990년	20000	그래고리 J. 피
1996년	50000	그래고리 J. 피
1996년 8월 14일	100000	그래고리 J. 피 & 사이먼 플루프
1996년 9월 29일	300000	토마스 파파니콜라우
1996년	1500000	토마스 파파니콜라우
1997년	3379957	패트릭 데미첼
1998년 1월 4일	12500000	하비에르 구르동
2001년	100000500	하비에르 구르동 & 파스칼 세바
2002년	201000000	하비에르 구르동 & 파스칼 세바
2006년 10월	5000000000	시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로[2]
2008년 8월	10000000000	시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로[3]
2009년 1월 31일	15510000000	알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬[4]
2009년 4월 16일	31026000000	알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬[4]
2015년 6월 7일	200000001100	로버트 J. 세티[5]
2016년 4월 12일	250000000000	론 왓킨스[5]
2019년 2월 16일	300000000000	티지안 한셀만[5]
2019년 3월 29일	500000000000	마이크 A & 이언 커트리스[5]
2019년 7월 16일	600000000100	김승민[6][7]