디리클레 지표

수론에서 디리클레 지표(Dirichlet指標, 영어: Dirichlet character)는 수론적 함수의 하나다. 디리클레 L-함수를 정의하는 데 사용된다.

정의

군 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}}$는 ${\displaystyle k}$에 대하여 서로소인 ${\displaystyle k}$ 합동류들의 아벨 군이다. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$는 0이 아닌 복소수들의 곱셈에 대한 아벨 군이다. 이들 사이에 군 준동형

${\displaystyle \chi \colon (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$

이 주어졌다고 하자. 이러한 꼴의 군 준동형을 지표라고 한다. 이러한 지표 ${\displaystyle \chi }$를 수론적 함수 ${\displaystyle {\hat {\chi }}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$로 확장시킬 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle k}$에 대하여 서로소가 아닌 합동류에 속하는 정수들에 대하여 ${\displaystyle {\hat {\chi }}}$의 값을 0으로 놓는다. 이렇게 하여 얻는 함수 ${\displaystyle {\hat {\chi }}}$를 디리클레 지표라고 한다.

이렇게 정의한 함수 ${\displaystyle {\hat {\chi }}}$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

1. (주기성) ${\displaystyle {\hat {\chi }}(n)={\hat {\chi }}(n+k)}$
2. (서로소) ${\displaystyle n}$과 ${\displaystyle k}$가 서로소임은 ${\displaystyle {\hat {\chi }}(n)\neq 0}$과 동치이다.
3. (승법성) 모든 정수 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$에 대하여, ${\displaystyle {\hat {\chi }}(mn)={\hat {\chi }}(m){\hat {\chi }}(n)}$

이 세 조건을 만족하는 함수는 항상 디리클레 지표임을 보일 수 있다.

디리클레 L-함수

모든 디리클레 지표 ${\displaystyle \chi }$에 대하여, 이에 대응하는 L-함수를 정의할 수 있다. 이를 디리클레 L-함수라고 하며, 다음과 같다.

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)/n^{s}}$

역사

페터 구스타프 르죈 디리클레가 디리클레 등차수열 정리를 증명하기 위하여 1831년에 도입하였다.

참고 문헌

• Davenport, Harold (2000). 《Multiplicative Number Theory》 3판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 74. Springer. ISBN 978-0-387-95097-6. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Fröhlich, Albrecht; Martin J. Taylor (1991). 《Algebraic number theory》 (영어). Cambridge studies in advanced mathematics 27. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139172165. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)