부분 순서 집합
속의 사슬
및 반사슬
에 대하여
이다. 따라서, 만약
를 사슬
들로 분할하였을 때, 각 반사슬
에 대하여
이므로
이며, 즉

이다.[1]:303 반대로, 만약
를 반사슬
들로 분할하였을 때, 각 사슬
에 대하여
이므로
이며, 즉

이다.
따라서, 딜워스의 정리와 미르스키의 정리에서 자명하지 않은 것은 반대 방향의 부등식이다. 이 경우, 두 정리의 증명은 매우 다르다.
딜워스의 정리
딜워스의 정리의 증명은 쾨니그의 정리를 이용한 기법 등 여러 방법이 있다. 만약
가 유한 집합일 경우, 미카 아셰르 페를레스(히브리어: מִיכָה אָשֵׁר פרלס, 1936~)는 다음과 같은 간단한 증명을 제시하였다.[3][1]:303–304
유한 부분 순서 집합
가 주어졌다고 하자.
의 극대 원소들의 집합을
, 극소 원소들의 집합을
라고 하자. 이들은 각각 반사슬을 이룬다.
집합의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 딜워스의 정리는 한원소 집합인 부분 순서 집합에 대하여 자명하게 성립한다. 이제 딜워스의 정리가 크기
미만의 모든 부분 순서 집합에 대하여 대해 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
- 크기
의 반사슬은 모두
과 같거나,
와 같다.
및
와 같지 않은, 크기
의 반사슬
가 존재한다.
1의 경우,
인
와
를 찾을 수 있다. (그렇지 아니하다면 크기가
보다 더 큰 반사슬이 존재하게 되기 때문이다.)
의 최소 사슬 분할

이 주어졌을 때

는
의 사슬 분할이므로,
에 딜워스의 정리를 적용하면

이다.
2의 경우, 다음과 같은 두 부분 집합
를 정의하자.





에 딜워스의 정리를 적용하여 다음과 같은 사슬 분해를 얻는다고 하자.


그렇다면
의 사슬 분해

를 얻는다. 즉,

가 된다.