라 수

수학에서 1955년 이보 라(Ivo Lah)가 발견한 라 수(Lah number,라 숫자)는 상승 팩토리얼을 하강 팩토리얼들로 표현함에 있어서 나타내는 계수들의 출현과 관련있다.^[1]

1과 4 사이의 n 및 이에 대한 k의 부호없는 라 숫자

부호가없는 라수(Lah number)는 조합론에서 깊은 의미가 있다. 부호 없는 라 수에서 k가 공집합이 아니면서 순서로 정렬된 부분 집합으로 나뉠 수 있다. 라 숫자는 스털링 숫자와 관련이 있다.

생성 함수

부호없는 라수(Unsigned Lah numbers) (OEIS의 수열 A105278)

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

부호있는 라수(Signed Lah numbers) (OEIS의 수열 A008297)

${\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

이 계수들은 라 수의 테이블에서 3번째 값이다.

계수

${\displaystyle x^{(n)}}$ 상승 팩토리얼(상승 계승)은

${\displaystyle (x+0)(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$

${\displaystyle (x)_{n}}$ 하강 팩토리얼(하강 계승)은

${\displaystyle (x-0)(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$

그리고

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}L(n,k)(x)_{k}\;\;,\;\;(x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}}$

이때, ${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2)}$

라 수의 출현 테이블

${\displaystyle _{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1
11	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	1
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	1

같이 보기

• 집합의 분할
• 파스칼 행렬

참고

• (OEIS)A105278
• (OEIS)A008297