으뜸 아이디얼

가환대수학에서 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의

으뜸 부분 가군

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 다음 성질을 만족시킨다면, ${\displaystyle _{R}M}$을 여으뜸 왼쪽 가군(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.^{[1]:185, §3}

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M\setminus \{0\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rRm=\{0\}}$이라면, ${\displaystyle r\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (_{R}M)}}}$이다.

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$은 소멸자이며, ${\displaystyle {\sqrt {}}}$은 소근기(즉, 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합)이다. 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rm=0}$이라면, ${\displaystyle m=0}$이거나 아니면 충분히 큰 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여 ${\displaystyle r^{n}M=\{0\}}$이다.

${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$의 으뜸 부분 가군(영어: primary submodule) ${\displaystyle N\subseteq M}$은 ${\displaystyle M/N}$이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

${\displaystyle _{R}R}$의 으뜸 부분 가군을 으뜸 왼쪽 아이디얼(영어: primary left ideal)이라고 한다.

삼종 아이디얼

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {ter} _{R}M\subseteq R}$을 다음과 같이 정의하자.^{[1]:185, §3[2]:22-02, Définition 1.1}

${\displaystyle \operatorname {ter} _{R}M=\{r\in R\colon \forall m\in M\setminus \{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\neq 0\}}$

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 여삼종 가군(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다.^{[1]:185, §3[2]:22-02, Définition 2.1}

• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle m\in M\setminus \{0\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rRm=\{0\}}$이라면, ${\displaystyle r\in \operatorname {ter} _{R}M}$이다.

소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\}}$인 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$을 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-여삼종 가군(영어: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-cotertiary module)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 ${\displaystyle R}$위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:186[3]:Théorème 2[4]:161, §VII.1}

• 여삼종 가군이다.
• 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

환 ${\displaystyle M}$의 가군 ${\displaystyle M}$의 부분 가군 ${\displaystyle N}$에 대하여, 만약 몫가군 ${\displaystyle M/N}$이 여삼종 가군이라면, ${\displaystyle N}$을 삼종 부분 가군(영어: tertiary submodule)이라고 한다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 항상

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}\subseteq \operatorname {ter} _{R}M}$

이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}M}}=\operatorname {ter} _{R}M}$

이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

가환환의 경우

가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 ${\displaystyle R}$의 으뜸 아이디얼이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$의 으뜸 부분 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 삼종 부분 가군이다.
• 임의의 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rs\in {\mathfrak {q}}}$라면 ${\displaystyle r\in {\mathfrak {q}}}$이거나, ${\displaystyle s^{n}\in {\mathfrak {q}}}$인 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$이 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rs\in {\mathfrak {q}}}$라면 ${\displaystyle r\in {\mathfrak {q}}}$이거나, ${\displaystyle s\in {\mathfrak {q}}}$이거나, 아니면 ${\displaystyle r,s\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$이다. 여기서 ${\displaystyle {\sqrt {}}}$는 소근기이다.
• ${\displaystyle R/{\mathfrak {q}}}$의 모든 영인자는 멱영원이다.

성질

가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 ${\displaystyle R}$의 전체 아이디얼 ${\displaystyle (1)=R}$ 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$의 소근기가 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$이면, ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$를 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-으뜸 아이디얼(영어: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 소근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

공으뜸 가군

뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공으뜸 가군이다.
• 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

으뜸 분해

왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$의 부분 가군 ${\displaystyle _{R}N}$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 ${\displaystyle N_{1},\dots ,N_{k}\subseteq M}$ 및 소 아이디얼 ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}\}=\operatorname {Ass} (_{R}M/N_{i})}$들이 존재한다.^{[1]:186[4]:162, Proposition VII.1.13}

• ${\displaystyle N=N_{1}\cap N_{2}\cap \cdots \cap N_{k}}$
• 임의의 ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$에 대하여, ${\displaystyle N\neq N_{1}\cap N_{2}\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap \cdots \cap N_{k}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ass} (_{R}N)}$은 유한 집합이며, 그 크기는 ${\displaystyle k}$이며, 또한 ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{k}(N_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$에 대하여, ${\displaystyle i\neq j}$라면 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq {\mathfrak {p}}_{j}}$이며 ${\displaystyle N_{i}\neq N_{j}}$이다.

이를 ${\displaystyle N}$의 삼종 분해(영어: tertiary decomposition)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.^{[1]:186[4]:162, Proposition VII.1.13}

• ${\displaystyle N}$의 두 삼종 분해 ${\displaystyle \{(N_{i},{\mathfrak {p}}_{i})\}_{1\leq i\leq k}}$, ${\displaystyle \{(N_{j}',{\mathfrak {p}}_{j}')\}_{1\leq j\leq k'}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle k=k'}$이며, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{\sigma (i)}}$가 되는 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} \{1,\dots ,k\}}$이 존재한다. (그러나 ${\displaystyle N_{i}=N'_{\sigma (i)}}$일 필요는 없다.)

만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 으뜸 분해라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 라스커-뇌터 정리(영어: Lasker–Noether theorem)라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

1. 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$가 으뜸 아이디얼이라면, ${\displaystyle \{{\mathfrak {a}}\}}$는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, ${\displaystyle rs\in {\mathfrak {a}}}$인 ${\displaystyle r,s\in R\setminus {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$를 찾을 수 있다.
2. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }={\mathfrak {a}}:r^{n}}$이 되는 충분히 큰 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$을 찾는다.
3. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}+r^{n}R)\cap ({\mathfrak {a}}:r^{n})}$이므로, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R}$ 및 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}}$의 으뜸 분해를 찾으면 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (${\displaystyle {\mathfrak {a}}+r^{n}R}$와 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

${\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{\infty }=\bigcup _{n=0}^{\infty }({\mathfrak {a}}:r^{n})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}:r^{n}=\{s\in R\colon sr^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}$

이다.

예

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 ${\displaystyle p}$로 생성되는 주 아이디얼 ${\displaystyle (p)}$이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 ${\displaystyle p^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$)으로 생성되는 주 아이디얼 ${\displaystyle (p^{n})}$이다.

소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle K[x,y,z]/(xy-z^{2})}$를 생각하자. 이 경우,

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x,z)}$

라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}=(x^{2},z^{2},xz)}$의 소근기 ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{2}}}={\mathfrak {p}}}$는 소 아이디얼이다. 그러나 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}}$는 으뜸 아이디얼이 아니다.

${\displaystyle xy=z^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}}$

이지만,

${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}^{2}}$

${\displaystyle y^{n}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

이기 때문이다. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}}$의 으뜸 분해는

${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{2}=(x)\cap (x^{2},xz,y)}$

이다.

역사

소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고,^[5] 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.^{[6]:44, §5, Satz IX} 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.^[2][3][7][8]