반소 아이디얼

환론에서 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal)은 소 아이디얼들의 교집합이다. 주어진 양쪽 아이디얼을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 소근기(素根基, 영어: prime radical)라고 한다.

정의

소근기

환 ${\displaystyle R}$ 속의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$의 소근기(素根基, 영어: prime radical) 또는 단순히 근기(根基, 영어: radical) ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$는 이를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.^{[1]:156, Theorem 10.7} 즉, 다음과 같은 양쪽 아이디얼이다.

${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=\bigcap \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\}\subseteq \{r\in R\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$는 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 가군의 근기와 다른 개념이다.)

가환환의 경우

가환환의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.

• ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$
• ${\displaystyle \{r\in R|\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon r^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}$. 즉, 충분히 거듭제곱하면 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 원소가 되는 것들의 집합이다.
• ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$의 멱영원들의 집합 ${\displaystyle N}$에 대하여, ${\displaystyle \{r\in R\colon [r]\in N\}}$. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

반소 아이디얼

환 ${\displaystyle R}$ 속의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(半素ideal, 영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal)이라고 한다.

• 임의의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq R}$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}$라면, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$이다.^{[1]:157, Definition 10.8}
• 임의의 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle B\subseteq R}$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}$라면, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$이다.^{[1]:157, Proposition 10.9(4)}
• 임의의 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle B\subseteq R}$에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle B^{n}\subseteq {\mathfrak {a}}}$라면, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$이다.^{[1]:157, Proposition 10.9(4)′}
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rRr\subseteq {\mathfrak {a}}}$라면 ${\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}$이다.^{[1]:157, Proposition 10.9(3)}
• ${\displaystyle R\setminus {\mathfrak {a}}}$는 n-계를 이룬다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\bigcap {\mathcal {P}}}$인, 소 아이디얼들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \operatorname {Spec} R}$이 존재한다.^{[1]:157, Proposition 10.11(2)}
• 스스로의 소근기와 같다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\sqrt {\mathfrak {a}}}}$이다.^{[1]:157, Proposition 10.11(3)}

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$는 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(영어: n-system)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq R}$이다.

${\displaystyle \forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S}$

가환환의 경우

가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반소 아이디얼이다.
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle r^{n}\in {\mathfrak {a}}}$라면 ${\displaystyle r\in {\mathfrak {a}}}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle r\in R\setminus {\mathfrak {a}}}$에 대하여, ${\displaystyle \{r,r^{2},r^{3},\dots \}\subseteq R\setminus {\mathfrak {a}}}$이다.

성질

환의 양쪽 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

완전 소 아이디얼 ⊂ 소 아이디얼 ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ 양쪽 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

극대 아이디얼 ⊂ 완전 소 아이디얼 =	소 아이디얼	⊂	반소 아이디얼
	∩		∩
	으뜸 아이디얼	⊂	아이디얼

사실, 가환환의 아이디얼의 경우 소 아이디얼인 것은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것과 동치이다.

영 아이디얼의 소근기 ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}}$는 하영근기 또는 (가환환의 경우) 단순히 영근기라고 하며, 가환환의 경우 이는 멱영원들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 환을 반소환이라고 하며, 가환환의 경우 이는 축소환인 것과 동치이다.

예

정수환

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서, ${\displaystyle (n)}$이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 ${\displaystyle n}$이 제곱 인수가 없는 정수 또는 0인 것이다. 특히, ${\displaystyle (0)}$이 반소 아이디얼이므로 정수환은 반소환이다. 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 경우, 아이디얼 ${\displaystyle \mathbb {Z} /m}$의 소근기는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {\mathbb {Z} /m}}=\mathbb {Z} /\left(\prod _{p\mid m}p\right)}$

여기서 ${\displaystyle \prod _{p\mid m}p}$는 ${\displaystyle m}$의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

${\displaystyle {\sqrt {\mathbb {Z} /12}}=\mathbb {Z} /6}$

이다.

다항식환

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\in K[x]\qquad (i\neq j\implies a_{i}\neq a_{j})}$

으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {\left(\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})^{n_{i}}\right)}}=\prod _{i=1}^{k}(x-a_{i})}$

데데킨트 정역

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 ${\displaystyle R}$에서, 영 아이디얼이나 ${\displaystyle R}$가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}}$

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}^{n({\mathfrak {p}})}}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}{\mathfrak {p}}}$

역사

반소 아이디얼(독일어: Halbprimideal 할프프림이데알^[*])의 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,^{[2]:735, §2} 일반적 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.^{[3]:331, Definition 0}

같이 보기

• 제이컵슨 근기
• 영근기