라플라스 압력

라플라스 압력(영어: Laplace pressure)은 두 유체 영역 사이의 경계를 형성하는 곡면의 안팎의 압력 차이다.^[1] 압력 차이는 액체와 기체, 또는 두 개의 섞이지 않는 액체 사이 계면의 표면장력에 의해 발생한다.

비눗방울을 이용한 라플라스 압력의 실험적 시연

라플라스 압력은 다음으로 주어지는 영-라플라스 방정식으로부터 결정된다.^[2] $${\displaystyle \Delta P\equiv P_{\text{inside}}-P_{\text{outside}}=\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right),}$$ 여기서 ${\displaystyle R_{1}}$과 ${\displaystyle R_{2}}$는 주곡률 반경이고 ${\displaystyle \gamma }$ (또는 ${\displaystyle \sigma }$로도 표기)는 표면장력이다. 이 값들의 부호는 다양하지만, 부호 규약은 일반적으로 볼록할 때 양의 곡률을, 오목할 때 음의 곡률을 지시한다.

라플라스 압력은 거품이나 물방울과 같은 구형 형태 내부의 압력 차이를 결정하는 데 일반적으로 사용된다. 이 경우 ${\displaystyle R_{1}}$ = ${\displaystyle R_{2}}$이다. $${\displaystyle \Delta P=\gamma {\frac {2}{R}}}$$

액체 내부의 기포의 경우, 표면은 하나뿐이다. 액체 벽을 가진 기포의 경우, 그 너머는 다시 기체이며, 두 개의 표면이 각각 총 압력 차이에 기여한다. 기포가 구형이고 외부 반경이 내부 반경과 작은 거리 ${\displaystyle R_{o}=R_{i}+d}$만큼 다르다면, 외부 및 내부 기체 영역 사이의 압력 차이는 다음과 같다. $${\displaystyle \Delta P=\Delta P_{i}+\Delta P_{o}=2\gamma \left({\frac {1}{R_{i}}}+{\frac {1}{R_{i}+d}}\right)={\frac {4\gamma }{R_{i}}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {d}{R_{i}+d}}\right)\approx {\frac {4\gamma }{R_{i}}}+{\mathcal {O}}(d).}$$

예시

흔히 사용되는 예시는 순수한 물 속의 기포 내부 압력을 찾는 것이다. 여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 25 °C (298 K)에서 72 mN/m이다. 기포 내부의 추가 압력은 세 가지 기포 크기에 대해 다음과 같이 주어진다.

기포 직경 (2r) (μm)	${\displaystyle \Delta P}$ (Pa)	${\displaystyle \Delta P}$ (atm)
1000	288	0.00284
3.0	96000	0.947
0.3	960000	9.474

1 mm 기포는 무시할 수 있는 추가 압력을 가진다. 그러나 직경이 약 3 μm일 때, 기포 내부는 외부보다 1기압 더 높다. 기포가 수백 나노미터에 불과할 때는 내부 압력이 여러 기압에 달할 수 있다. 분자 활성제나 오염 물질이 존재할 경우 분자의 표면 장력이 훨씬 작아질 수 있다는 점을 명심해야 한다. 동일한 계산을 물 속의 작은 기름 방울에 대해 수행할 수 있는데, 계면활성제와 비교적 낮은 계면 장력 ${\displaystyle \gamma }$ = 5~10 mN/m가 존재하더라도 직경 100 nm 방울 내부의 압력은 여러 기압에 도달할 수 있다.^[3]

같이 보기

• 오스트발트 숙성
• 켈빈 방정식
• 라플라스 수
• 두 풍선 실험