영-라플라스 방정식

물리학에서 영-라플라스 방정식(영어: Young–Laplace equation, /ləˈplɑːs/)은 표면장력 또는 벽 장력 현상으로 인해 물과 공기와 같은 두 정지 유체 사이의 계면을 가로질러 유지되는 모세관 압력 차이를 설명하는 방정식으로, 후자의 사용은 벽이 매우 얇다고 가정할 때에만 적용할 수 있다. 영-라플라스 방정식은 압력 차이를 표면 또는 벽의 모양과 연관시키며, 정지 모세관 표면 연구에 근본적으로 중요하다. 이 방정식은 계면이 표면 (두께가 0)으로 간주되는 계면에서 만나는 정지 유체에 대한 법선 응력 평형의 진술이다. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ 여기서 ${\displaystyle \Delta p}$는 라플라스 압력으로, 유체 계면을 가로지르는 압력 차이(외부 압력에서 내부 압력을 뺀 값), ${\displaystyle \gamma }$는 표면장력 (또는 벽 장력), ${\displaystyle {\hat {n}}}$은 표면에서 바깥쪽으로 향하는 단위 법선, ${\displaystyle H_{f}}$는 평균곡률, 그리고 ${\displaystyle R_{1}}$과 ${\displaystyle R_{2}}$는 주 곡률반지름이다. 정지 계면은 접선 응력이 없을 때만 가능하므로 법선 응력만 고려된다는 점에 유의한다.^[1]

이 방정식은 1805년에 표면장력의 정성 이론을 개발한 토머스 영과 다음 해에 수학적 설명을 완성한 피에르시몽 드 라플라스 후작의 이름을 따서 명명되었다. 카를 프리드리히 가우스가 1830년에 요한 베르누이의 가상일 원리를 사용하여 미분 방정식과 경계 조건을 모두 유도함으로써 영과 라플라스의 작업을 통합했기 때문에 때때로 영-라플라스-가우스 방정식이라고도 불린다.^[2]

비누막

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중력이 없는 비누막처럼 압력 차이가 0이면, 계면은 극소곡면의 모양을 취한다.

유화액

이 방정식은 또한 유화액을 만드는 데 필요한 에너지도 설명한다. 유화액의 작고 곡률이 큰 액적을 형성하려면 작은 반지름으로 인해 발생하는 큰 압력을 극복하기 위해 추가 에너지가 필요하다.

작은 액적일수록 더 큰 라플라스 압력은 유화액에서 가장 작은 액적에서 분자가 확산되게 하고 오스트발트 숙성을 통해 유화액의 조대화를 유도한다.

튜브 내 모세관 압력

젖음각이 90° 미만인 구형 메니스커스

충분히 좁은 (즉, 보건수가 낮은) 원형 단면(반지름 a)의 튜브에서 두 유체 사이의 계면은 반지름 R인 구 표면의 일부인 메니스커스를 형성한다. 이 표면을 가로지르는 압력 차이는 반지름과 표면장력 γ에 의해 다음과 같이 관련된다. $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

이는 구형 형태로 영-라플라스 방정식을 접촉각 경계 조건과 함께, 그리고 메니스커스 바닥에서 지정된 높이 경계 조건을 사용하여 작성함으로써 보여질 수 있다. 이 해는 구의 일부이며, 위에서 보여진 압력 차이에 대해서만 해가 존재한다. 이는 압력 차이를 지정하는 다른 방정식이나 법칙이 없기 때문에 중요하다. 특정 압력 차이 값에 대한 해의 존재성이 이를 규정한다.

구의 반지름은 접촉각 θ만의 함수이며, θ는 다시 해당 유체와 유체가 접촉하는 용기 재료의 정확한 속성에 따라 달라진다. $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

따라서 압력 차이는 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

모세관 상승의 그림. 빨간색=접촉각이 90° 미만; 파란색=접촉각이 90° 초과

정역학적 평형을 유지하기 위해 유도된 모세관 압력(영어: capillary pressure)은 높이 h의 변화에 의해 균형을 이룬다. 이 h는 젖음각이 90°보다 작거나 큰지에 따라 양수 또는 음수가 될 수 있다. 밀도 ρ인 유체의 경우, $${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$ 여기서 g는 중력 가속도이다. 이는 1718년에 이 효과를 연구한 제임스 주린의 이름을 따서 주린의 법칙(영어: Jurin's law) 또는 주린 높이(영어: Jurin height)라고도 알려져 있다.^[3][4]

해수면에서 공기 중 물로 채워진 유리 튜브의 경우:

• γ = 20 °C에서 0.0728 J/m²
• θ = 20° (0.35 rad)
• ρ = 1000 kg/m³
• g = 9.8 m/s²

이므로 수주의 높이는 다음과 같다. $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$ 따라서 2mm 폭(반지름 1mm) 튜브의 경우 물은 14mm 상승한다. 그러나 반지름 0.1mm의 모세관 튜브의 경우 물은 14cm(약 6 인치) 상승한다.

모세관 현상과 중력

중력의 효과도 포함하여, 자유 표면과 h=0 수준에서 유체 사이의 압력 차이가 Δp와 같을 때, 계면이 평형 상태일 때 Δp, 정수압, 그리고 표면장력의 효과 사이에 균형이 있다. 영-라플라스 방정식은 다음과 같다. $${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left[{\frac {1}{R_{1}(h)}}+{\frac {1}{R_{2}(h)}}\right]}$$ 유체-유체 계면의 평균곡률이 이제 h에 따라 달라진다는 점에 유의한다.

이 방정식은 특성 길이 척도인 모세관 길이를 사용하여 무차원화될 수 있다. $${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ 그리고 특성 압력 $${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

표준 온도 압력에서 깨끗한 물의 모세관 길이는 약 2 mm이다.

무차원 방정식은 다음과 같다. $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left[{\frac {1}{{R_{1}}^{*}(h)}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}(h)}}\right].}$$

따라서 표면 모양은 유체의 초과 압력인 Δp^*라는 단일 매개변수에 의해서만 결정되며, 표면의 척도는 모세관 길이에 의해 주어진다. 방정식의 해를 구하려면 초기 위치 조건과 시작점에서의 표면 기울기가 필요하다.

축대칭 방정식

축대칭 표면의 (무차원) 모양 r(z)은 주곡률에 대한 일반적인 표현을 대입하여 정수압 영-라플라스 방정식을 얻을 수 있다.^[5] $${\displaystyle {\frac {r}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$$ $${\displaystyle {\frac {z}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$$

의학 분야 응용

의학에서는 흔히 라플라스의 법칙이라고 불리며, 심혈관 생리학과 관련하여 사용되며,^[6] 또한 호흡 생리학에서도 사용되지만, 후자의 사용은 종종 잘못된 것이다.^[7]

역사

프랜시스 혹스비는 1709년에 가장 초기의 관찰과 실험을 수행했으며,^[8] 이 실험들은 1718년에 제임스 주린에 의해 반복되었는데, 그는 모세관 기둥의 유체 높이가 기둥의 다른 어떤 치수가 아니라 표면의 단면적에만 함수라는 것을 관찰했다.^[4][9]

토머스 영은 1804년 논문 "유체의 응집력에 대한 에세이"^[10]에서 유체 간의 접촉을 지배하는 원리(유체 거동의 다른 많은 측면과 함께)를 설명적인 용어로 제시하며 이 방정식의 기초를 마련했다. 피에르시몽 드 라플라스 후작은 이어서 "천체 역학"^[11]에서 위에 주어진 공식적인 수학적 설명을 제시했으며, 이는 영이 이전에 설명한 관계를 상징적인 용어로 재현했다.

라플라스는 혹스비가 그의 책 "물리-기계 실험"(1709)에서 제안한 아이디어를 받아들였는데, 이 현상은 감지 가능한 거리에서는 감지할 수 없는 인력 때문이라는 것이다.^[12][13] 고체가 액체에 미치는 작용과 두 액체의 상호 작용을 다루는 부분은 철저히 연구되지 않았지만, 궁극적으로는 카를 프리드리히 가우스에 의해 완성되었다.^[14] 프란츠 에른스트 노이만 (1798-1895)은 나중에 몇 가지 세부 사항을 추가했다.^[15][9][16]