레비 붕괴

집합론에서, 레비 붕괴(לוי崩壞, 영어: Lévy collapse)는 강제법에서 특정한 두 기수 사이의 다른 기수들을 없애는 작용을 하는 부분 순서 집합이다.

정의

서로 다른 두 기수 ${\displaystyle \lambda <\kappa }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (${\displaystyle \lambda ,\kappa )}$-레비 붕괴 ${\displaystyle \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )\subseteq \operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa$ ;\lambda )} 는 다음과 같은, 부분 정의 함수 집합 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa$ ;\lambda )} 의 부분 집합이다.^[1]:(15.19)

${\displaystyle \forall f\in \operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa$ ;\lambda )\colon \left(f\in \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )\iff \forall (\alpha ,\beta )\in \kappa \times \lambda \colon f(\alpha ,\beta )<\alpha \right)}

성질

순서론적 성질

${\displaystyle \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )}$는 ${\displaystyle \kappa }$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 따라서, ${\displaystyle \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )}$에 대한 강제법은 ${\displaystyle \kappa }$ 이상의 기수들을 보존한다.

강제법적 성질

ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle X,Y\in M}$ 및 무한 순서수 ${\displaystyle \lambda ,\kappa \in M\cap \operatorname {Ord} }$가 주어졌으며, ${\displaystyle \lambda <\kappa }$이며, ${\displaystyle M}$ 속에서 ${\displaystyle \lambda }$와 ${\displaystyle \kappa }$가 기수라고 하자.

${\displaystyle M\models (\lambda ,\kappa \in \operatorname {Card} )}$

또한, ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )^{M}}$의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면, 강제법 모형 ${\displaystyle M[G]}$에서 다음이 성립한다.

${\displaystyle M[G]\models (\lambda ^{+}=\kappa )}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{+}}$는 바로 다음 기수를 뜻한다 (${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{+}=\aleph _{\alpha +1}}$). 즉, ${\displaystyle \lambda }$와 ${\displaystyle \kappa }$ 사이의 기수들이 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사

아즈리엘 레비가 1963년에 도입하였다.^{[2][3]:243–244, §8}