부분 정의 함수

수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 부분 함수(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

부분 정의 함수의 예

단사 부분 정의 함수의 예

정의

집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 부분 정의 함수는 정의역 ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$이 ${\displaystyle X}$의 부분 집합이며, 공역이 ${\displaystyle Y}$인 함수 ${\displaystyle f}$이다. 이들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$로 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)=\bigsqcup _{A\subseteq X}Y^{A}}$

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

${\displaystyle X_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{X}\}}$

${\displaystyle Y_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{Y}\}}$

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

• 부분 정의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
• 점을 보존하는 함수 ${\displaystyle f_{\bullet }\colon X_{\bullet }\to Y_{\bullet }}$
• 함수 ${\displaystyle f_{\bullet }|_{X}\colon X\to Y_{\bullet }}$

이 경우

${\displaystyle \operatorname {dom} f=f_{\bullet }^{-1}(Y)=f_{\bullet }^{-1}(Y_{\bullet }\setminus \{\bullet _{Y}\})}$

이다. 특히, ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$는 지수 집합 ${\displaystyle Y_{\bullet }^{X}}$와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서

${\displaystyle X\to Y}$ 부분 정의 함수들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

${\displaystyle f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|_{\operatorname {dom} f}=f\right)}$

그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$는 정의역의 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.^{[1]:211, Definition VII.6.1}

${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}=\bigsqcup _{A\subseteq X}^{|A|<\kappa }Y^{A}}$

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질

조합론적 성질

${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)\cong Y_{\bullet }^{X}}$의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum _{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}$

(이는 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )}$의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )|=\sum _{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}$

순서론적 성질

극대·극소 원소

${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)}$의 극대 원소는 ${\displaystyle \operatorname {dom} f=X}$인 함수 ${\displaystyle f\in Y^{X}\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y)}$이다.

반사슬 조건

만약 ${\displaystyle Y}$가 가산 집합이라면, ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\aleph _{0})}$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하고,

${\displaystyle \lambda =(|Y|^{<\kappa })^{+}=\left(\sup _{\kappa '<\kappa }|Y|^{\kappa }\right)^{+}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$는 ${\displaystyle \lambda }$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$의 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 ${\displaystyle \sup G\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.^{[1]:211, Lemma VII.6.2}

• 만약 ${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa }$라면, ${\displaystyle \operatorname {dom} \sup G=X}$이다. 즉, ${\displaystyle \sup G\in Y^{X}}$는 (${\displaystyle X}$ 전체에 정의된) 함수이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x}$에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 ${\displaystyle D_{x}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon x\in \operatorname {dom} f\}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$의 공종 집합이다. 따라서 ${\displaystyle f\in G\cap D_{x}}$가 존재하며, 특히 ${\displaystyle f\leq \sup G}$이자 ${\displaystyle x\in \operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} \sup G}$이다.

• 만약 ${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq |X|}$라면, ${\displaystyle \operatorname {im} \sup G=Y}$이다. 즉, ${\displaystyle \sup G\in Y^{X}}$는 전사 함수이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle y}$가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 ${\displaystyle D_{y}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon y\in \operatorname {im} f\}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}$의 공종 집합이다. 따라서 ${\displaystyle f\in G\cap D_{y}}$가 존재하며, 특히 ${\displaystyle f\leq \sup G}$이자 ${\displaystyle y\in \operatorname {im} f\subseteq \operatorname {im} \sup G}$이다.

범주론적 성질

다음과 같은 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set_{part}} }$를 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Set_{part}} }$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$은 부분 정의 함수 ${\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)}$이다.

그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {Set_{part}} }$는 점을 가진 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }}$와 동치이다.^[2]:10

${\displaystyle \operatorname {Set_{part}} \simeq \operatorname {Set} _{\bullet }}$

다음과 같은 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} }$를 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Set_{part}} }$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$은 단사 부분 정의 함수 ${\displaystyle f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)}$이다. (즉, 이는 ${\displaystyle X}$의 부분 집합과 ${\displaystyle Y}$의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} }$는 스스로의 반대 범주와 동치이다.^{[3]:289, Exercise 5.7.3}

${\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }}$

강제법적 성질

(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle X,Y\in M}$과 ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} ^{M}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle M}$ 속에서 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}\in M}$을 구성할 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle M}$에 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}$의 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}$를 추가한 강제법 모형 ${\displaystyle M[G]}$를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.^[1]:§VII.5

구체적으로, ${\displaystyle S\in M}$에 대하여 ${\displaystyle X=S\times \mathbb {N} }$이자 ${\displaystyle Y=\{0,1\}}$, ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$이라고 놓자. (${\displaystyle \aleph _{0}=\mathbb {N} =\omega }$는 절대적이다.) 또한

${\displaystyle M\models |S|\geq \aleph _{2}}$

라고 하자. 즉,

${\displaystyle |S|\geq \omega _{2}^{M}}$

이라고 하자. (여기서 ${\displaystyle \omega _{1}^{M}\in \operatorname {Ord} ^{M}=\operatorname {Ord} \cap M}$은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

${\displaystyle M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}}$

임을 보일 수 있다^{[1]:208, §VII.5} (${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$는 연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여 ${\displaystyle \sup G\in G}$이며, 또한 ${\displaystyle \sup G}$는 포괄성 조건에 따라서 사실 ${\displaystyle X=S\times \mathbb {N} }$ 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

${\displaystyle H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb {N} }$

${\displaystyle H_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)}$

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

• ${\displaystyle H_{s}\not \in M}$
• ${\displaystyle s\neq t\implies H_{s}\neq H_{t}}$
• ${\displaystyle H_{s}\in M[G]}$

따라서, ${\displaystyle \{H_{s}\}_{s\in S}}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 ${\displaystyle |S|}$개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

${\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|}$

이다.^{[1]:205, Lemma VII.5.3}

이제, ${\displaystyle M}$ 속에서 ${\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )^{M}}$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 ${\displaystyle |S|}$의 크기는 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle M[G]}$ 속에서 같으며, 따라서

${\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|>\aleph _{0}}$

이다.