루진의 정리

해석학에서 루진의 정리(Лузин의定理, 영어: Luzin's theorem)는 가측 함수가 거의 어디서나 연속 함수라는 정리이다.

정의

라돈 측도 ${\displaystyle \mu }$를 갖춘 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간 ${\displaystyle Y}$로 가는 가측 함수

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

에 대하여, 만약 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$라면, 루진의 정리에 따르면 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 닫힌 집합 ${\displaystyle X_{\epsilon }\subset X}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon }$
• ${\displaystyle f|_{X_{\epsilon }}\colon X_{\epsilon }\to Y}$는 연속 함수이다.

만약 ${\displaystyle X}$가 추가로 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합 ${\displaystyle X_{\epsilon }}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f_{\epsilon }\colon X\to Y}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon }$
• ${\displaystyle f|_{X_{\epsilon }}=f_{\epsilon }|_{X_{\epsilon }}}$이다.

실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 가측 함수이다. 여기서 정의역은 르베그 측도, 공역은 보렐 시그마 대수를 갖춘다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \mu (\{x\in [a,b]\colon f(x)\neq f_{\epsilon }(x)\})<\epsilon }$인 연속 함수 ${\displaystyle f_{\epsilon }\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

역사

니콜라이 루진이 증명하였다.^[1]