가측 함수

측도론에서 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의

두 가측 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ 사이의 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

• 모든 ${\displaystyle S\in {\mathcal {G}}}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(S)\in {\mathcal {F}}}$

만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$"는 보통 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$을 의미한다.

성질

두 가측 함수

${\displaystyle f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})}$

${\displaystyle g\colon (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})}$

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

${\displaystyle g\circ f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})}$

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수

${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
• 반대로, 루진의 정리에 따르면, ${\displaystyle Y}$가 제2 가산 공간이며 ${\displaystyle X}$에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 ${\displaystyle X}$의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

• 두 가측 함수 ${\displaystyle f,g\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$에 대하여, ${\displaystyle f+g}$ 및 ${\displaystyle f\cdot g}$는 가측 함수이다.
• 가측 함수의 열 ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots \colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$의 점별 극한은 가측 함수이다.
• 모든 르베그 적분 가능 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 및 ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$는 가측 함수이다.
• 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.

${\displaystyle \operatorname {mid} \{-g,f,g\}\colon x\mapsto {\begin{cases}g(x)&f(x)\geq g(x)\\f(x)&-g(x)\leq f(x)\leq g(x)\\-g(x)&f(x)\leq -g(x)\end{cases}}}$

바나흐 공간 값 가측 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가측 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle Y}$

그렇다면, ${\displaystyle X\to Y}$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{k}y_{i}1_{S_{i}}}$

${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}\in Y}$

${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

(여기서 ${\displaystyle 1_{S_{i}}}$는 지시 함수이다.)

이제, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.

• (강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
• (약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 ${\displaystyle \phi \in Y^{*}}$에 대하여, ${\displaystyle \phi \circ f\colon (X,{\mathcal {B}}(X))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}$는 가측 함수이다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:5, Theorem 1.1.6}

• 강가측 함수이다.
• 약가측 함수이며, ${\displaystyle f(X)\subset {\widetilde {Y}}}$인 분해 가능 부분 공간 ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\subset Y}$가 존재한다.

특히, 만약 ${\displaystyle Y}$가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 강가측 함수이다.
• 가측 함수이다.
• 약가측 함수이다.

가측 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ 및 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 강가측 함수이며, ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$가 가측 함수라면, ${\displaystyle g\circ f}$는 강가측 함수이다.^{[1]:7, Corollary 1.1.11}

예

정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 ${\displaystyle 1_{A}}$는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수

분해 불가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 항등 함수

${\displaystyle f\colon x\mapsto x}$

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 ${\displaystyle f(X)=X}$가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 ${\displaystyle f}$는 강가측 함수가 아니다.^{[1]:4, Example 1.1.5}

가측 함수가 아닌 약가측 함수

실수의 셈측도 공간 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\mu )}$ 위의 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {K} )} 를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \ell ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {K} )}

${\displaystyle f(x)(t)={\begin{cases}1&t=x\\0&t\neq x\end{cases}}}$

그렇다면, ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\ell ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {K} ),{\mathcal {B}}(\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )))} 는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여,

${\displaystyle \langle f,f(x)\rangle =f(x)\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}$

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$에 대하여,

${\displaystyle B=\bigcup _{x\in A}\operatorname {ball} _{\ell ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {K} )}(1,f(x))\subset \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}

는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

${\displaystyle f^{-1}(B)=A}$

는 가측 집합이 아니다.