르베그 적분

측도론에서 르베그 적분(Lebesgue積分, 영어: Lebesgue integral)은 일반적인 측도 공간 위에 정의될 수 있는 적분이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적이며 리만 적분이 정의되지 않아도 르베그 적분이 정의되는 함수들이 존재한다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.

리만 적분은 적분 영역을 세로로 나누어 계산하지만, 르베그 적분은 적분 영역을 가로로 나누어 계산한다.

정의

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 지시 함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다. 측도 공간 ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}},\mu )}$ 위의 단순 함수(영어: simple function) ${\displaystyle E\to [0,\infty )}$는 가측 집합 위의 지시 함수들의, 음이 아닌 계수를 가진 유한 선형 결합이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{S_{i}}\qquad (a_{i}\geq 0,\;S_{i}\in {\mathcal {E}})}$

단순함수들의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(E)}$라고 하자. 단순 함수 ${\displaystyle s\in {\mathcal {S}}(E)}$의 르베그 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int \sum _{i}a_{i}1_{S_{i}}\,d\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (S_{i})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$가 실수의 보렐 시그마 대수라고 하자. 가측 함수 ${\displaystyle f\colon (E,X,\mu )\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$의 르베그 적분 ${\displaystyle \int fd\mu }$는 다음과 같다.

${\displaystyle \int f\,d\mu =\sup \left\{\int s\,d\mu \colon s\leq \max\{f,0\},\;s\in {\mathcal {S}}(E)\right\}-\sup \left\{\int s\,d\mu \colon s\leq \max\{-f,0\},\;s\in {\mathcal {S}}(E)\right\}}$

가측 집합 ${\displaystyle A\subset E}$에 국한된 르베그 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int 1_{A}f\,d\mu }$

유클리드 공간 ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ 위의 르베그 적분은 보통 르베그 측도를 갖춘 경우를 의미한다.

리만 적분과의 관계

르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 리만 적분과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

예

유리수 집합 위의 지시 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 리만 적분이 존재하지 않는다. 그러나 그 르베그 적분은 존재하며,

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0}$

이다.

역사

앙리 르베그가 박사 학위 논문에서 1902년 정의하였다.^[1][2]

같이 보기

• 앙리 르베그
• 영집합
• 적분
• 측도
• 르베그-스틸티어스 측도
• 리만 적분