르장드르 변환

르장드르 변환(Legendre變換, 영어: Legendre transformation)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 운동량 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

정의

벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 볼록집합 ${\displaystyle A\subset X}$ 위에 연속 볼록함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle f}$의 도함수의 상 ${\displaystyle A^{\star }=\nabla f(A)}$을 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle f}$의 르장드르 변환

${\displaystyle f^{\star }\colon A^{\star }\to \mathbb {R} }$

은 다음과 같다.

${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })=\sup _{x\in A}\{x^{\star }x-f(x)\}}$

만약 ${\displaystyle f}$가 연속미분가능이라면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle f'(x)=x^{\star }\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(x^{\star })}$

그렇다면 ${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })=x^{\star }x-f(x)=(f')^{-1}(x^{\star })x^{\star }-f((f')^{-1}(x^{\star }))}$

성질

르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,

${\displaystyle {\frac {df^{\star }}{dx^{\star }}}=x+x^{\star }{\frac {dx}{dx^{\star }}}-{\frac {df}{dx}}{\frac {dx}{dx^{\star }}}=x}$

이므로,

${\displaystyle f^{\star \star }(x)=xx^{\star }-f^{\star }(x^{\star })=xx^{\star }-(xx^{\star }-f(x))=f(x)}$

이다.

예

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f^{\star }}$	조건
${\displaystyle af(x)}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f}$	${\displaystyle af^{\star }(x^{\star }/a)}$	${\displaystyle a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }}$	${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle f(ax)}$	${\displaystyle a^{-1}\cdot \operatorname {dom} f}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star }/a)}$	${\displaystyle a\cdot \operatorname {dom} f^{\star }}$	${\displaystyle a>0}$
${\displaystyle f(x)+a}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })-a}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f^{\star }}$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle f(x-a)}$	${\displaystyle a+\operatorname {dom} f}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })+ax^{\star }}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f^{\star }}$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle f(x)+ax}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star }-a)}$	${\displaystyle a+\operatorname {dom} f^{\star }}$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle f(x)+g(x)}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f\cap \operatorname {dom} g}$	${\displaystyle (f^{\star }\star _{\text{inf}}g^{\star })(x^{\star })}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f^{\star }+\operatorname {dom} g^{\star }}$	${\displaystyle (f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}}$
${\displaystyle (f\star _{\text{inf}}g)(x)}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f+\operatorname {dom} g}$	${\displaystyle f^{\star }(x^{\star })+g^{\star }(x^{\star })}$	${\displaystyle \operatorname {dom} f^{\star }\cap \operatorname {dom} g^{\star }}$	${\displaystyle (f\star _{\text{inf}}g)(x)=\inf _{y}\{f(x-y)+g(y)\}}$
${\displaystyle ax+b}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle \{a\}}$
${\displaystyle |x|^{p}/p}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle |x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle 1/p+1/p^{\star }=1}$, ${\displaystyle p>1}$
${\displaystyle -x^{p}/p}$	${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle -|x^{\star }|^{p^{\star }}/p^{\star }}$	${\displaystyle (-\infty ,0]}$	${\displaystyle 1/p+1/p^{\star }=1}$, ${\displaystyle p<1}$
${\displaystyle \exp(x)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle x^{\star }(\ln(x^{\star })-1)}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
${\displaystyle x\ln(x)}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	${\displaystyle \exp(x-1)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$
${\displaystyle -1/2-\ln x}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$	${\displaystyle -1/2-\ln |x^{\star }|}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$
${\displaystyle x\exp(x+1)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle x^{\star }(W(x^{\star })-1)^{2}/W(x^{\star })}$	${\displaystyle [-1/e,\infty )}$	${\displaystyle W}$는 람베르트 W 함수

참고 문헌

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997). 《Convex analysis》. Princeton Landmarks in Mathematics (영어). Princeton University Press. ISBN 978-069101586-6. Zbl 0932.90001.
• Zia, R. K. P.; E. F. Redish, S. R. McKay (2009). “Making sense of the Legendre transform”. 《American Journal of Physics》 (영어) 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. doi:10.1119/1.3119512. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• Tikhomirov, V.M. (2001). “Legendre transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Legendre transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

• 영의 부등식