리 대수 아이디얼

리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-])}$의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$는 리 괄호에 대하여 닫힌 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$이며 ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}}$이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {g}}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.

• ${\displaystyle K}$-부분 가군이며, ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}$이다.
• ${\displaystyle \ker \phi =I}$인 리 대수 준동형 ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/I}$를 정의할 수 있다.

리 초대수의 경우

 리 초대수 문서를 참고하십시오.

위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-\})}$의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 리 초괄호에 대하여 닫힌 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다. 즉,

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}}$

이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[-,-\})}$의 아이디얼(영어: ideal) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다.

• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}\}\subseteq {\mathfrak {h}}}$

즉, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$이라고 할 때,

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}}$는 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$의 아이디얼이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}\subseteq {\mathfrak {g}}_{1}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$의 표현을 이루며 (${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {h}}_{1}\}\in {\mathfrak {h}}_{1}}$), 또한 ${\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {h}}_{1}\}\subseteq {\mathfrak {h}}_{1}}$을 만족시킨다.

L∞-대수의 경우

 L∞-대수 문서를 참고하십시오.

위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 L∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다. 즉,

${\displaystyle [\overbrace {{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}},\dotsc ,{\mathfrak {h}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}$

${\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{n}}$은 등급 ${\displaystyle n}$의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 L∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 아이디얼(영어: ideal) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다.

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},\overbrace {{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}},\dotsc ,{\mathfrak {g}}} ^{k}]_{k}\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (k\in \mathbb {Z} ^{+})}$

${\displaystyle \operatorname {proj} _{n}({\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

특히, ${\displaystyle k=1}$일 때 이 조건은

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {h}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

성질

함의 관계

모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ ${\displaystyle K}$-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류	리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수	정확히 두 개의 아이디얼 (즉, ${\displaystyle \{0\}\neq {\mathfrak {g}}}$)을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수	아벨 아이디얼은 ${\displaystyle \{0\}}$ 밖에 없음
아벨 리 대수	모든 ${\displaystyle K}$-부분 가군이 리 대수 아이디얼임
${\displaystyle \{0\}}$	정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

예

자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에 대하여, ${\displaystyle \{0\}\subseteq {\mathfrak {g}}}$과 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 (자명하게) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\{0\}\cong {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}\cong \{0\}}$

직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 직합 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$에서, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus 0,0\oplus {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$는 각각 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {g}}}\cong {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {h}}}\cong {\mathfrak {g}}}$

리 대수 중심

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 중심(中心, 영어: center) ${\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})}$은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

${\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

유도 리 대수

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌을 때, 부분 공간

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=\left\{[x_{1},y_{1}]+\dotsb +[x_{n},y_{n}]\colon n\in \mathbb {N} ,\,x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}\in {\mathfrak {g}}\right\}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다.

리 대수 근기

 이 부분의 본문은 리 대수 근기입니다.

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie subalgebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Ideal of a Lie algebra”. 《Groupprops》 (영어).
• “Ideal of a Lie ring”. 《Groupprops》 (영어).