준동형

추상대수학에서 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

정의

같은 부호수 ${\displaystyle \sigma =(F,R)}$의 두 구조 ${\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}$, ${\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}$ 사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이다.

• (연산의 보존) 모든 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle f\in F}$ 및 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

${\displaystyle \phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

• (관계의 보존) 모든 ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

${\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

같은 부호수 ${\displaystyle \sigma =(F,R)}$의 두 구조 ${\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}$, ${\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}$ 사이의 강준동형(強準同型, 영어: strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이다.

• 모든 ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r\in R}$ 및 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$에 대하여,

${\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}$

대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

예

마그마와 군

마그마 ${\displaystyle (M,\cdot )}$는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$은 모든 ${\displaystyle m,n\in M}$에 대하여

${\displaystyle \phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)}$

인 함수이다.

군 ${\displaystyle (G,\cdot ,^{-1},1)}$은 이항 연산 ${\displaystyle \cdot }$, 일항 연산 ${\displaystyle ^{-1}}$, 영항 연산 ${\displaystyle 1}$을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$는 모든 ${\displaystyle g,g'\in G}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')}$
2. ${\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}$
3. ${\displaystyle \phi (1)=1}$

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

유사환과 환

유사환 ${\displaystyle (R,\cdot ,+,-,0)}$은 이항 연산 ${\displaystyle \cdot }$ 및 ${\displaystyle -}$, 일항 연산 ${\displaystyle -}$, 영항 연산 ${\displaystyle 0}$을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$는 모든 ${\displaystyle r,r'\in R}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}$
2. ${\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}$
3. ${\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}$
4. ${\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) 환 ${\displaystyle (R,\cdot ,+,-,1,0)}$은 이항 연산 ${\displaystyle \cdot }$ 및 ${\displaystyle +}$, 일항 연산 ${\displaystyle -}$, 영항 연산 ${\displaystyle 0}$ 및 ${\displaystyle 1}$을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$는 모든 ${\displaystyle r,r'\in R}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}$
2. ${\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}$
3. ${\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}$
4. ${\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}$
5. ${\displaystyle \phi (1)=1}$

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle n\mapsto (0,n)}$은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.

체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

벡터 공간

체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간 ${\displaystyle (V,+,-,s\cdot _{s\in K},0)}$은 이항 연산 ${\displaystyle +}$, 일항 연산 ${\displaystyle -}$ 및 모든 ${\displaystyle s\in K}$에 대하여 ${\displaystyle s\cdot }$, 영항 연산 ${\displaystyle 0}$을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환 ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$는 모든 ${\displaystyle v,v'\in R}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')}$
2. ${\displaystyle \phi (-v)=-\phi (v')}$
3. 모든 ${\displaystyle s\in K}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)}$
4. ${\displaystyle \phi (0)=\phi (0)}$

인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

격자

격자 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$는 이항연산 ${\displaystyle \vee }$ 및 ${\displaystyle \wedge }$를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형 ${\displaystyle \phi \colon L\to M}$은 모든 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}$
2. ${\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}$

인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )}$는 이항 연산 ${\displaystyle \vee }$ 및 ${\displaystyle \wedge }$, 영항 연산 ${\displaystyle \bot }$ 및 ${\displaystyle \top }$을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형 ${\displaystyle \phi \colon L\to M}$은 모든 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여

1. ${\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}$
2. ${\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}$
3. ${\displaystyle \phi (\bot )=\bot }$
4. ${\displaystyle \phi (\bot )=\top }$

인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

그래프

그래프의 언어 ${\displaystyle \langle \sim \rangle }$는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 ${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}}$를 갖는 언어이다. 이 경우 ${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}}$는 "${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$이거나, 아니면 ${\displaystyle v_{1}}$과 ${\displaystyle v_{2}}$ 사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

전순서

전순서 집합의 언어 ${\displaystyle \langle \leq }$는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계 ${\displaystyle \leq }$를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

참고 문헌

• Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar. 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

같이 보기

• 사상
• 동형 사상
• 준동형 정리
• 동형 정리
• 합동 관계

외부 링크

• “Homomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Homorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Homomorphism”. 《nLab》 (영어).