마이어-피토리스 열

대수적 위상수학에서 마이어-피토리스 열(Mayer-Vietoris列, 영어: Mayer–Vietoris sequence)는 어떤 위상 공간을 두 열린 부분공간으로 나눈 경우, 그 호몰로지 군들에 대한 긴 완전열이다. 기본군의 자이페르트-판 캄펀 정리와 유사하게, 공간의 호몰로지 군을 더 단순한 부분 공간들로 쪼개어 계산하는 데 쓰인다. 대수적 위상수학에서 가장 핵심적인 도구 가운데 하나다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 두 부분 집합 ${\displaystyle A,B\subset X}$들의 내부 ${\displaystyle \operatorname {int} (A),\operatorname {int} (B)\subset X}$가 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개를 이룬다고 하자. 즉,

${\displaystyle \operatorname {int} (A)\cup \operatorname {int} (B)=X}$

라고 하자. 이 사이에 포함 사상들을 다음과 같이 적자.

${\displaystyle i\colon A\cap B\hookrightarrow A}$

${\displaystyle j\colon A\cap B\hookrightarrow B}$

${\displaystyle k\colon A\hookrightarrow X}$

${\displaystyle l\colon B\hookrightarrow X}$

이에 따라서 다음과 같은 호몰로지 군 사이의 군 준동형을 유도할 수 있다.

${\displaystyle i_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(A)}$

${\displaystyle j_{*}\colon H_{n}(A\cap B)\to H_{n}(B)}$

${\displaystyle k_{*}\colon H_{n}(A)\to H_{n}(X)}$

${\displaystyle l_{*}\colon H_{n}(B)\to H_{n}(X)}$

또한, 다음과 같은 군 준동형을 생각하자. 임의의 닫힌 ${\displaystyle n}$차 특이 호몰로지 사슬 ${\displaystyle x\in C_{n}(X)}$는 ${\displaystyle A}$에 속한 사슬과 ${\displaystyle B}$에 속한 사슬로 분해할 수 있다. (이러한 분해는 물론 유일하지 않다.)

${\displaystyle x=u+v}$ (${\displaystyle u\in C_{n}(A)}$, ${\displaystyle v\in C_{n}(B)}$)

${\displaystyle \partial u=-\partial v\in C_{n-1}(A\cap B)}$

그렇다면 군 준동형 ${\displaystyle \partial _{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n-1}(A\cap B)}$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \partial _{*}\colon [x]\mapsto [\partial u]=-[\partial v]\in H_{n-1}(A\cap B)}$

그렇다면, 다음과 같은 특이 호몰로지 사슬 복합체에 대한 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}C_{\bullet }(A)\oplus C_{\bullet }(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}C_{\bullet }(X)\to 0}$

이 짧은 완전열에 지그재그 보조정리를 적용해, 다음과 같은 긴 완전열이 존재함을 알 수 있다. 이 완전열을 마이어-피토리스 열이라고 한다.

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}H_{n}(A)\oplus H_{n}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B){\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}H_{0}(X)\to 0}$

축소 호몰로지(reduced homology) ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=H_{n}(X)/H_{n}(\{\bullet \})}$에 대해서도 비슷한 긴 완전열이 존재한다.

역사

오스트리아의 수학자 발터 마이어(독일어: Walther Mayer)와 레오폴트 피토리스(독일어: Leopold Vietoris)가 도입하였다. 마이어는 1926~1927년 동료 수학자 피토리스의 위상수학 강의를 듣게 되었다. 이 강의에서 피토리스는 오늘날 마이어-피토리스 열이라고 불리는 관계에 대한 가설을 세웠다. 그때까지 위상수학에 대하여 전혀 몰랐던 마이어는 피토리스의 강의를 듣고 곧 1929년에 가설을 호몰로지의 베티 수에 대하여 증명하였다.^[1] 이듬해 (1930년) 피토리스는 베티 수뿐만 아니라 호몰로지 군 자체에 대한 마이어-피토리스 열의 존재를 증명하였다.^[2] 이후 사무엘 에일렌베르크와 노먼 스틴로드가 완전열의 개념을 도입하면서, 마이어와 피토리스의 준동형들이 긴 완전열을 이룸을 지적하였다.

같이 보기

• 지그재그 보조정리