뱀 완전열

호몰로지 대수학에서 뱀 완전열(-完全列, 영어: snake exact sequence)은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

정의

아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 뱀 완전열이라고 한다.^{[1]:11, Lemma 1.3.2}

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\xrightarrow {d}}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

이 완전열에서, ${\displaystyle d}$를 연결 사상(連結寫像, 영어: connecting morphism)이라고 한다.

연결 사상 ${\displaystyle d}$는 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.

연결 사상의 구성:

우선, 임의의 ${\displaystyle \gamma \in \ker c\subseteq C}$에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.

• ${\displaystyle g(\beta )=\gamma }$인 임의의 ${\displaystyle \beta \in B}$ (이는 ${\displaystyle g}$가 전사 사상이므로 가능하다)
  • ${\displaystyle g'(b(\beta ))=c(g(\beta ))=c(\gamma )=0}$이므로, ${\displaystyle b(\beta )\in \ker g'\subseteq B'}$가 된다.
• ${\displaystyle 0\to A'\to B'\to C'}$가 완전열이므로, (다시 말해, ${\displaystyle \operatorname {im} f'=\ker g'}$이고 ${\displaystyle f'}$이 단사 사상이므로) ${\displaystyle f'(\alpha ')=b(\beta )}$인 ${\displaystyle \alpha '\in A'}$이 유일하게 존재한다.

그렇다면, 연결 사상 ${\displaystyle d}$는 다음과 같다.

${\displaystyle d\colon \gamma \mapsto \alpha '+\operatorname {im} a}$

이는 ${\displaystyle \beta \in B}$의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.

증명:^{[2]:Lemma 2.4}

그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&\ker a&\to &\ker b&\to &\ker c\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&A&\to &B&\to &C&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A'&\to &B'&\to &B'\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&\operatorname {coker} a&\to &\operatorname {coker} b&\to &\operatorname {coker} c\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&0&&0&&0\end{matrix}}}$

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.

• (가): ${\displaystyle _{=}(\ker b)\cong 0}$
• (나): ${\displaystyle _{=}(\operatorname {coker} b)\cong 0}$
• (다): ${\displaystyle (\ker c)_{\square }\cong {}^{\square }(\operatorname {coker} a)}$. 이는 ${\displaystyle \operatorname {coker} (\operatorname {ker} b\to \ker c)=(\ker c)_{\square }}$이며, ${\displaystyle \ker(\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b)={}^{\square }(\operatorname {coker} a)}$이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0_{\square }&&0_{\square }&&0_{\square }\\&&\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }0\\&&\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\0_{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }0&&^{\square }0&&^{\square }0\end{matrix}}}$

${\displaystyle \ker b\to \ker c}$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 ${\displaystyle \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0_{\square }&&0_{\square }&&0_{\square }\\&&\swarrow &&\color {Red}\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \color {Red}\downarrow }}}{\underset {\to }{\bullet }}_{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\swarrow &&\swarrow &&\color {Green}\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\color {Green}\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }0\\&&\swarrow &&\color {Green}\swarrow &&\swarrow \\0_{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\color {Green}\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\color {Green}\swarrow &&\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }\bullet _{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\color {Cyan}\to }{\bullet }}_{\square }&\nearrow &^{\square }\bullet _{\square }\\&&\swarrow &&\color {Cyan}\swarrow &&\swarrow \\&&^{\square }0&&^{\square }0&&^{\square }0\end{matrix}}}$

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.

• (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 ${\displaystyle 0\cong 0_{\square }\to {}^{\square }(\ker b)\to {}_{=}(\ker b)}$
• (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 ${\displaystyle 0\cong {}^{\square }0\leftarrow (\operatorname {coker} b)_{\square }\leftarrow {}_{=}(\operatorname {coker} b)}$
• (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상 ${\displaystyle (\ker c)_{\square }\to {}^{\square }C\leftarrow B_{\square }\to {}^{\square }B'\leftarrow A_{\square }\to {}^{\square }(\operatorname {coker} a)}$

성질

그림

에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.

• (가) 만약 ${\displaystyle f}$가 단사 사상이라면 ${\displaystyle \ker a\to \ker b}$도 단사 사상이다.
• (나) ${\displaystyle g'}$이 전사 사상인 경우 ${\displaystyle \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$도 전사 사상이다.

이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에서의 명제 (가)는 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }}$에서의 명제 (나)와 같다.

증명:

편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &\ker a&\to &\ker b\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A&\to &B\end{matrix}}}$

에서, ${\displaystyle _{=}(\ker a)\cong 0}$임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상

${\displaystyle 0_{\square }\to {}^{\square }A\leftarrow {}^{\square }(\ker a)}$

이 존재한다. 따라서 ${\displaystyle ^{\square }(\ker a)\cong 0}$이다. 따라서, ${\displaystyle \ker a\to \ker b}$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열

${\displaystyle {\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}0_{\square }\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{(\ker a)}}_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{(\ker b)}}_{\square }\\&&\swarrow \\&&^{\square }B\color {White}_{\square }\end{matrix}}}$

으로부터, ${\displaystyle _{=}(\ker a)\cong 0}$임을 알 수 있다.

호몰로지 긴 완전열

사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 호몰로지 긴 완전열(영어: homology long exact sequence)이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 ${\displaystyle A_{\bullet }}$, ${\displaystyle B_{\bullet }}$, ${\displaystyle C_{\bullet }}$가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

${\displaystyle 0\to A_{\bullet }{\xrightarrow {\alpha }}B_{\bullet }{\xrightarrow {\beta }}C_{\bullet }\to 0}$

지그재그 정리(zigzag補助定理, 영어: zigzag lemma)에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{n+1}(C)\to \operatorname {H} _{n}(A){\xrightarrow {\alpha _{*}}}\operatorname {H} _{n}(B){\xrightarrow {\beta _{*}}}\operatorname {H} _{n}(C)\to \operatorname {H} _{n-1}(A)\to \cdots }$

뱀 완전열을 사용한 구성:^[1]:13–14

다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ker \partial _{n}^{A}&&\ker \partial _{n}^{B}&&\ker \partial _{n}^{C}\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0\to &A_{n}&\to &B_{n}&\to &C_{n}&\to 0\\&{\scriptstyle \partial _{n}^{A}}\downarrow &&{\scriptstyle \partial _{n}^{B}}\downarrow &&{\scriptstyle \partial _{n}^{C}}\downarrow \\0\to &A_{n-1}&\to &B_{n-1}&\to &C_{n-1}&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&\operatorname {coker} \partial _{n}^{A}&&\operatorname {coker} \partial _{n}^{B}&&\operatorname {coker} \partial _{n}^{C}\\\end{matrix}}}$

뱀 보조정리에 따라서, 모든 ${\displaystyle n}$에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

${\displaystyle 0\to \ker \partial _{n}^{A}\to \ker \partial _{n}^{B}\to \ker \partial _{n}^{C}}$

${\displaystyle \operatorname {coker} \partial _{n}^{A}\to \operatorname {coker} \partial _{n}^{B}\to \operatorname {coker} \partial _{n}^{C}\to 0}$

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&\operatorname {coker} \partial _{n+2}^{A}&\to &\operatorname {coker} \partial _{n+2}^{B}&\to &\operatorname {coker} \partial _{n+2}^{C}&\to 0\\&{\scriptstyle \partial _{n+1}^{A}}\downarrow &&{\scriptstyle \partial _{n+1}^{B}}\downarrow &&{\scriptstyle \partial _{n+1}^{C}}\downarrow \\0\to &\ker \partial _{n}^{A}&\to &\ker \partial _{n}^{B}&\to &\ker \partial _{n}^{C}\end{matrix}}}$

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{n+1}(-)}$와 ${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(-)}$이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{n+1}(A)\to \operatorname {H} _{n+1}(B)\to \operatorname {H} _{n+1}(C)\to \operatorname {H} _{n}(A)\to \operatorname {H} _{n}(B)\to \operatorname {H} _{n}(C)\to \cdots }$

도롱뇽 정리를 사용한 구성:

다음과 같은 그림을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n}&\to &B_{n}&\to &C_{n}&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n-1}&\to &B_{n-1}&\to &C_{n-1}&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}$

이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&&&&\swarrow &&\\0_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \color {Red}\downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\color {Red}\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }0\\&&&&\swarrow &&\\0_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \color {Red}\downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }{\overset {\color {Red}\to }{\bullet }}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\color {Red}\nearrow &^{\square }0\\&&&&\swarrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}}$

여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉

${\displaystyle A_{n\square }\to B_{n}^{\|}\to B_{n\square }\to {}^{\square }B_{n-1}\to B_{n-1}^{\|}\to {}^{\square }C_{n-1}}$

는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열

${\displaystyle A_{n}^{\|}\to B_{n}^{\|}\to C_{n}^{\|}\to A_{n-1}^{\|}\to B_{n-1}^{\|}\to C_{n-1}^{\|}}$

과 같다.

예

 이 부분의 본문은 마이어-피토리스 열입니다.

 이 부분의 본문은 복시테인 준동형입니다.

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

역사

1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림

뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림

에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문^[3]에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.^{[3]:Lemma 5.8}

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일(영어: Claudia Weill) 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》(영어: It’s My Turn 이츠 마이 턴^[*])의 도입부에서 등장한다.^[1]:11 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(영어: Kate Gunzinger, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

같이 보기

• 지그재그 보조정리