주다발

위상수학에서 주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 ${\displaystyle X}$이고 올이 위상군 ${\displaystyle G}$인 주다발은 국소적으로 ${\displaystyle X\times G}$와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 위상군 ${\displaystyle G}$

그렇다면, 올이 ${\displaystyle G}$이고 밑이 ${\displaystyle X}$인 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 올이 ${\displaystyle G}$인 올다발 ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X}$
• 연속 오른쪽 작용 ${\displaystyle P\times G\to P}$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle p\in P}$에 대하여, ${\displaystyle \pi (p\cdot g)=\pi (p)}$. 즉, 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle G}$는 올 ${\displaystyle P_{x}}$ 위에 작용한다.
• 임의의 ${\displaystyle p,p'\in G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \pi (p)=\pi (p')}$이라면, ${\displaystyle p\cdot g=p'}$인 ${\displaystyle g\in G}$가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 오른쪽 작용 ${\displaystyle P_{x}\times G\to P_{x}}$는 정추이적 작용이다. 여기서 ${\displaystyle P_{x}=\pi ^{-1}(\{x\})}$는 ${\displaystyle x}$ 위의 ${\displaystyle P}$의 올이다.

두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\!\!P\times G\!\!&{\overset {\cdot }{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {proj} _{1}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle \color {White}\pi }\downarrow \scriptstyle \pi \!\!\!\!\\P&{\underset {\pi }{\to }}&X\end{matrix}}}$

두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname {proj} _{1}}}\!\!\!\!\swarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}^{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\exists$ !}\uparrow \scriptstyle \exists !\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color {White}^{\cdot }}\searrow ^{\cdot }\!\!\!\!\\P&{\xleftarrow {p}}&\bullet &{\xrightarrow {p'}}&P\\&{_{\pi }}\searrow {\color {White}_{\pi }}&&{\color {White}_{\pi }}\swarrow {_{\pi }}\\&&X\end{matrix}}}

만약

• ${\displaystyle G}$가 리 군이며,
• ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며,
• ${\displaystyle \pi \colon P\to X}$가 매끄러운 함수이며,
• ${\displaystyle G}$의 작용 ${\displaystyle P\times G\to P}$ 역시 매끄러운 함수라면

${\displaystyle (X,G,P,\pi )}$를 매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.

주다발 사상

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$
• 위상군 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$
• ${\displaystyle G}$-주다발 ${\displaystyle \pi _{P}\colon P\twoheadrightarrow X}$, ${\displaystyle \pi _{Q}\colon Q\twoheadrightarrow Y}$

이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism) ${\displaystyle (f,\phi )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[1]:§1

• 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
• 연속 함수 ${\displaystyle \Phi \colon P\to Q}$
• 연속 군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \Phi (p\cdot g)=\Phi (p)\cdot \phi (g)\qquad \forall (p,g)\in P\times G}$

${\displaystyle f\circ \pi _{P}=\pi _{Q}\circ \Phi }$

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\xrightarrow {(\Phi ,\phi )}}&Q\times H\\{\scriptstyle \cdot }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\cdot }&&{\scriptstyle \color {White}\cdot }\downarrow \scriptstyle \cdot \\P&{\xrightarrow {\Phi }}&Q\\{\scriptstyle \pi _{P}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\pi _{P}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\pi _{Q}}}\downarrow {\scriptstyle \pi _{Q}}\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}}$

주다발 사상 ${\displaystyle (f,\Phi ,\phi )}$에서, 만약 ${\displaystyle X=Y}$이며, ${\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}}$가 항등 함수이며, ${\displaystyle \phi }$가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) ${\displaystyle (\Phi ,\phi )}$를 구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.

주연장

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 리 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle X}$ 위의 매끄러운 ${\displaystyle G}$-주다발 ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow X}$
• 자연수 (음이 아닌 정수) ${\displaystyle 0\leq q\leq p}$

그렇다면, 다음과 같은, ${\displaystyle M}$ 위의 올다발을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P=\mathrm {F} ^{p}M\times _{M}\mathrm {J} ^{q}P}$

여기서

• ${\displaystyle \mathrm {F} ^{p}M}$은 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle p}$차 틀다발이다. 이는 ${\displaystyle M}$ 위의 주다발이며, 그 올군은 ${\displaystyle p}$차 ${\displaystyle n}$차원 제트 군 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (p,n)}$이다.
• ${\displaystyle \mathrm {J} ^{q}P}$는 ${\displaystyle P}$ 위의 ${\displaystyle q}$차 제트 다발이다. 이는 ${\displaystyle P}$ 위의 벡터 다발이다.
• ${\displaystyle \times _{M}}$은 ${\displaystyle M}$ 위의 두 올다발의 곱이다.

즉, 국소적으로 ${\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P}$의 점은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{h}g)}$

여기서

• ${\displaystyle f\colon U\to V}$은 단사 매끄러운 함수이며, ${\displaystyle 0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$은 열린집합이며, ${\displaystyle x\in V\subseteq M}$ 역시 열린집합이다.
• ${\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{p}f}$는 ${\displaystyle f}$의, ${\displaystyle 0\in U}$에서의 ${\displaystyle p}$차 제트이다.
• ${\displaystyle s\colon V\to P}$는 ${\displaystyle P\upharpoonright V}$의 단면이다.

이는 ${\displaystyle P}$ 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,p)\rtimes \mathrm {T} ^{q}G}$

이다. 여기서

${\displaystyle \mathrm {T} ^{q}G=\{\mathrm {j} _{0}^{q}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}}$

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{0}^{q}g)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{0}^{q}g')=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\left(\mathrm {g} \circ f'\right)g'\right)\right)}$

이 군은 ${\displaystyle \mathrm {W} ^{p,q}P}$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{q}s)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{x}^{q}g)=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\sigma \cdot (g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)}$

이를 ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle (p,q)}$차 주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.^{[2]:150–151, §15.3[3]:Definition 3.4}

성질

대역적 자명화의 존재

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 주다발 ${\displaystyle P}$에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 ${\displaystyle P\cong X\times G}$)가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma (P)}$가 존재하는 것이다. (이는 ${\displaystyle s\colon x\mapsto (x,1_{G})}$로 여길 수 있다.)

분류

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.

위상군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 분류 공간 ${\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}$을 구성할 수 있다. 그렇다면, (${\displaystyle X}$에 대한 적절한 조건 아래) ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle G}$-주다발들의 동형류들은 연속 함수 ${\displaystyle X\to \mathrm {B} G}$들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathrm {B} G}$에 대응하는 ${\displaystyle G}$주다발은 ${\displaystyle f^{*}\mathrm {E} G}$이다.

예

자명 주다발

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 위상군 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle X\times G}$는 군 작용

${\displaystyle (x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)}$

과 사영 사상

${\displaystyle (x,h)\mapsto x}$

을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다.

틀다발

 이 부분의 본문은 틀다발입니다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle k}$차원 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 ${\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )}$-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

응용

주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.