필바인

필바인(독일어: Vielbein) 또는 테트라드(영어: tetrad)는, 1800년대 미분기하학에서 다뤄온 프레네 틀장이나 다르부 틀장 같이, 로런츠 다양체에서 정의된 일종의 틀장이며, 카르탕 접속을 응용하여 중력을 다루는 수식체계라 할 수 있다. 국소적으로 평탄한 민코프스키 공간("틀")을 도입하여, 일반적인 장은 이 평탄한 공간 위에 정의한다. 필바인은 중력장을 나타내며, 국소적 평탄한 공간과 굽은 공간 사이를 변환하여 주는 역할을 한다. 국소적 민코프스키 공간을 도입하였으므로, 스피너 등을 자연스럽게 도입할 수 있다. 일반상대론, 아인슈타인-카르탕 이론, 초중력 등에서 쓰인다.

어원 및 명칭

"필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다. 필바인은 4차원에서는 피어바인(독일어: Vierbein), 5차원에서는 퓐프바인(독일어: Fünfbein), 11차원에서는 엘프바인(독일어: Elfbein) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 대신 그리스어식으로 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다. 다른 차원의 경우, 다음 표와 같다.

차원	독일어명	그리스어명
1	Einbein 아인바인[*]	monad 모나드[*]
2	Zweibein 츠바이바인[*]	dyad 다이아드[*]
3	Dreibein 드라이바인[*]	triad 트라이아드[*]
4	Vierbein 피어바인[*]	tetrad 테트라드[*]
5	Fünfbein 퓐프바인[*]	pentad 펜타드[*]
6	Sechsbein 젝스바인[*]	hexad 헥사드[*]
7	Siebenbein 지벤바인[*]	heptad 헵타드[*]
8	Achtbein 아흐트바인[*]	octad 옥타드[*]
9	Neunbein 노인바인[*]	ennead 에네아드[*]
10	Zehnbein 첸바인[*]	decad 데카드[*]
11	Elfbein 엘프바인[*]	hendecad 헨데카드[*]
12	Zwölfbein 츠뵐프바인[*]	dodecad 도데카드[*]
n	Vielbein 필바인[*]	polyad 폴리아드[*]

도입 목적

필바인을 도임하면, 물질장을 굽은 공간(접다발)이 아닌, 국소적인 평평한 공간 (틀다발)으로서 쓸 수 있게 돼, 그 대칭군을 형식적으로 (국소적 로런츠 변환을 포함해) 확장하여, 반정수 표현을 도입할 수 있다. 이는 양자장론의 스핀 ½의 페르미온을 도입하는 데 필수적이고, 또 초중력에서 필요한 스핀 1½의 그래비티노를 도입하는 데도 필수적이다. 다. 또한 필바인은 일반상대론을 게이지 이론으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 아인슈타인-카르탕 이론으로 자연스럽게 확장이 가능하다.

수학적 전개

시공과 필바인

${\displaystyle n}$차원의 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$을 생각하자. 여기에, SO(p,q)의 주다발(principal bundle) ${\displaystyle B}$를 놓자 (p+q=n). ${\displaystyle B}$는 틀다발(frame bundle)이라고 부른다. 또한, 여기에 ${\displaystyle n}$차원 벡터 다발 ${\displaystyle V}$를 놓고, 이를 ${\displaystyle B}$의 기본 표현으로 한다.

${\displaystyle V}$에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 쌍선형 형식 ${\displaystyle \eta }$를 가정하고, 또 ${\displaystyle e\colon TM\to V}$와 같은 가역 선형 변환 ${\displaystyle e}$가 있다고 하자 (${\displaystyle TM}$은 접다발). 물리적으로, ${\displaystyle \eta }$는 민코프스키 계량 텐서에 해당하고, ${\displaystyle e}$는 필바인으로서 중력장을 나타낸다.

지수를 넣어 쓰자면, 필바인 ${\displaystyle e_{\mu }^{a}}$은 민코프스키 (${\displaystyle V}$) 지수 ${\displaystyle a}$와 접다발 지수 ${\displaystyle \mu }$를 지니고, ${\displaystyle \eta _{ab}}$는 민코프스키 지수 ${\displaystyle a,b}$를 지닌다. 이에 따라, 일반상대론의 리만 다양체 계량텐서 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}}$

필바인은 가역 사상이라고 가정하였으므로, 그 역사상 ${\displaystyle E\colon V\to TM}$도 존재한다. 지수로 쓰면 ${\displaystyle E_{\mu }^{a}}$와 같다.

스핀 접속

 이 부분의 본문은 스핀 접속입니다.

V 안에서 다음 조건을 만족하는 유일한 비틀림없는 코쥘 접속 ${\displaystyle A}$가 존재함을 증명할 수 있다.

• 임의의 ${\displaystyle V}$의 미분가능 단면 ${\displaystyle a,b}$가 주어졌을 때, dη(a,b) = η(d_Aa,b) + η(a,d_Ab). 이 조건을 이용하여 ${\displaystyle A}$를 주다발 ${\displaystyle B}$에 대한 주접속으로 연장시킬 수 있다.

이를 스핀 접속이라고 한다. (아인슈타인-카르탕 이론에서는 접속이 비틀림을 가질 수 있다.)

필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발 ${\displaystyle TM}$으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 단면 ${\displaystyle X}$에 대해 다음과 같이 정의한다.

e(∇X) = d_Ae(X) for all differentiable sections X of TM.

필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다.

곡률

스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 곡률 (패러데이 텐서) R를 정의할 수 있다. 즉

${\displaystyle \mathbf {R} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

이는 리만 곡률과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle R_{\mu \nu }^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+\omega _{\mu }^{ac}{\omega _{\nu c}}^{b}-\omega _{\nu }^{ac}\omega _{\nu c}^{b}}$

리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 리치 곡률과 리치 스칼라를 정의할 수 있다. 즉 리치 곡률은

${\displaystyle {R_{\mu }}^{a}=E_{b}^{\nu }{R_{\mu \nu }}^{ab}}$

리치 스칼라는

${\displaystyle R=E_{a}^{\mu }{R_{\mu }}^{a}=E_{a}^{\mu }E_{\nu }^{b}{R_{\mu \nu }}^{ab}}$

일반상대론의 힐베르트 작용은 단순히 리치 스칼라에 비례한다.

${\displaystyle S=-\int d^{4}x\;e{\frac {1}{2\kappa }}R}$

여기서 ${\displaystyle \kappa =8\pi G}$다. ${\displaystyle e=\det e_{\mu }^{a}}$는 필바인의 행렬식으로서, 스칼라를 텐서 밀도로 만드는, 일종의 야코비안이다. 힐베르트 작용에 변분법을 적용하여 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다.

역사

처음에 일반 상대론은 4차원 시공간을 가정하였기 때문에 피어바인이 가장 먼저 도입되었다. 이후 수학자 테오드어 칼루차가 4차원 시공간에 (시간이 아닌) 위치를 나타내는 차원 하나를 더 추가하고 일반 상대론을 전개하면 자연스럽게 전자기 방정식을 얻음을 발표했다. 이 칼루차 이론은 5차원 시공간을 가정했으므로, 이를 연구하던 알베르트 아인슈타인이 1928년^[1]에, 헤르만 바일이 1929년^[2]에 퓐프바인을 도입하였다.