맨션 정리

기하학에서 맨션 정리(Mansion定理, 영어: Mansion's theorem)는 삼각형의 내심과 두 꼭짓점을 이어 만든 삼각형의 외심은 원래 삼각형의 외접원 위의 점이라는 정리이다.

맨션 정리

정의

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내심을 ${\displaystyle I}$라고 하고, ${\displaystyle AI}$의 연장선과 외접원의 교점을 ${\displaystyle M}$이라고 하자. 맨션 정리에 따르면, ${\displaystyle M}$은 삼각형 ${\displaystyle IBC}$의 외심이다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle MI=MB=MC}$

증명

호 ${\displaystyle MC}$의 원주각의 성질에 의하여

${\displaystyle \angle MBC=\angle MAC}$

이며, 내심 ${\displaystyle I}$의 정의에 의하여

${\displaystyle \angle IBC=\angle IBA}$

${\displaystyle \angle IAC=\angle IAB}$

이다. 따라서

${\displaystyle \angle MBI=\angle IBC+\angle MBC=\angle IBA+\angle IAB=\angle MIB}$

이다. 즉, ${\displaystyle MI=MB}$이다. 마찬가지로 ${\displaystyle MI=MC}$를 보일 수 있다.

따름정리

맨션 정리는 오일러 삼각형 정리를 증명하는 데 쓰인다.

외부 링크

• Bogomolny, Alexander. “A Theorem of M. Mansion”. 《Cut the Knot》.