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멱등원
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환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.
정의
요약
관점
범주의 멱등 사상
범주 의 자기 사상 가 를 만족시킨다면, 를 의 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.
만약 이며 가 되는 사상 , 가 존재한다면, 를 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.
의 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope) 는 다음과 같은 범주이다.
카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.
그렇다면, 충실충만한 함자
가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자
가 존재한다.
모노이드의 멱등원
모노이드 의 원소 가 을 만족시킨다면, 를 의 멱등원이라고 한다.
모노이드 의 멱등원들만으로 구성된 집합 에서, 만약
가 성립한다면, 가 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.
모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)
환의 멱등원
환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.
환 의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.
- 는 -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
- 는 -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
- 환 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
- 이자 , 인 멱등원 가 존재하지 않는다.
환 의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.
모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.
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예
요약
관점
멱등 함수
집합의 범주 에서의 멱등 사상은 멱등 함수(영어: idempotent function)라고 한다. 즉, 집합 위의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 위의 멱등 함수라고 한다.
- 임의의 에 대하여,
또한, 이는 함자
를 이루며, 이는 충실충만한 매장
의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.
멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.
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외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Idempotent matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Free idempotent monoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Idempotent”. 《nLab》 (영어).
- “Split idempotent”. 《nLab》 (영어).
- “Karoubi envelope”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: idempotent”. 《ProofWiki》 (영어). 2010년 5월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 5월 24일에 확인함.
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