대수 구조 다양체

보편 대수학에서 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다.

정의

주어진 형 ${\displaystyle \tau }$의 대수 구조들의 모임 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
  • 준동형에 대한 상. 즉, ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$이고 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이 존재한다면, ${\displaystyle \phi (A)\in {\mathcal {V}}}$이다.
  • 곱 대수. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {V}}}$가 부분 집합이라면, ${\displaystyle \prod {\mathcal {A}}\in {\mathcal {V}}}$이다. (만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing }$일 경우, ${\displaystyle \prod \varnothing }$은 하나의 원소를 가진 자명 대수 ${\displaystyle 1=\{\bullet \}}$이다.)
  • 부분 대수. 즉, ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$이고 ${\displaystyle B\subset A}$가 부분 대수라면, ${\displaystyle B\in {\mathcal {V}}}$이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$는 일련의 항등식 ${\displaystyle I}$들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란

${\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}\in A\colon f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=g(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$

꼴의 조건이며, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \tau }$에 속한 연산들 및 변수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle \tau }$에 속한 연산들 및 변수 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.

대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리(영어: Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다.

대수 구조 다양체를 형 ${\displaystyle \tau }$와 항등식 집합 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 ${\displaystyle (\tau ,{\mathcal {I}})}$, ${\displaystyle (\tau ',{\mathcal {I}}')}$ 사이의 준동형 ${\displaystyle \phi \colon (\tau ,{\mathcal {I}})\to (\tau ',{\mathcal {I}}')}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle t\in \tau }$에 대하여, ${\displaystyle \tau '}$의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 ${\displaystyle \phi (t)}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

• 모든 항등식 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$에 대하여, ${\displaystyle I}$에 등장하는 각 연산 ${\displaystyle t}$를 ${\displaystyle \phi (t)}$로 대응시킨 항등식은 ${\displaystyle {\mathcal {I}}'}$으로부터 함의된다.

이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다.

성질

같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다.

대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(영어: Lawvere theory) ${\displaystyle L}$로부터 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Prod} (L,\operatorname {Set} )}$와 동치이다.^[1]

모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.

• 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 망각 함자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set} }$의 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle F\dashv G}$가 존재한다.
• 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 귀납적 극한, 극한을 사영 극한이라고 한다.
  • 범주론적 곱이 항상 존재하며, 직접곱이라고 한다. 또한, 망각 함자 아래 이는 곱집합 위에 정의된 대수이다.
  • 쌍대곱 역시 항상 존재하며, 자유곱이라고 한다. 이는 일반적으로 집합의 쌍대곱(분리 합집합)과 호환되지 않는다.
  • 끝 대상은 하나의 원소만을 갖는 대수이다.
  • 시작 대상은 공집합으로부터 생성되는 자유 대수이다.

예

집합의 다양체

집합의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }}$은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 영항연산 ${\displaystyle \bullet }$
• 항등식: 없음

크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

• 연산: 없음
• 항등식: ${\displaystyle x=y}$

크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

• 연산: 영항연산 ${\displaystyle \bullet }$
• 항등식: ${\displaystyle x=y}$

유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다.

군 ${\displaystyle G}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle G}$의 작용을 갖춘 집합들의 모임 ${\displaystyle G{\text{-Set}}}$는 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 각 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, 일항연산 ${\displaystyle g\cdot }$
• 항등식:
  • 모든 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, ${\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x}$
  • ${\displaystyle 1\cdot x=x}$

군의 다양체

군의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 이항연산 ${\displaystyle \cdot }$, 일항연산 ${\displaystyle {}^{-1}}$, 영항연산 ${\displaystyle 1}$
• 항등식: ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$, ${\displaystyle xx^{-1}=1}$, ${\displaystyle x^{-1}x=1}$, ${\displaystyle 1\cdot x=x}$, ${\displaystyle x\cdot 1=x}$

아벨 군의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다.

• 항등식: ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$

이 밖에도, ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다.

• ${\displaystyle n}$-번사이드 군: 모든 원소의 차수가 ${\displaystyle n}$의 약수인 군.
• 유도 길이가 ${\displaystyle k}$ 이하인 가해군 ${\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{k}}$. 예를 들어, ${\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{1}=\operatorname {Ab} }$이며, ${\displaystyle \operatorname {SolvGrp} _{2}}$를 정의하는 항등식은 ${\displaystyle 1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}}$이다.
• 중심 길이가 ${\displaystyle k}$ 이하인 멱영군 ${\displaystyle \operatorname {NilpGrp} _{k}}$ (${\displaystyle \overbrace {[\cdots [G,G],G],G],\cdots ]} ^{k}=1}$인 군 ${\displaystyle G}$)

환의 다양체

유사환의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 이항연산 ${\displaystyle \cdot }$ 및 ${\displaystyle +}$, 일항연산 ${\displaystyle -}$, 영항연산 ${\displaystyle 0}$
• 항등식: (유사환의 정의)

가환 유사환의 모임 ${\displaystyle \operatorname {CRng} }$은 ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$의 부분다양체이다.

환의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$의 연산 및 영항연산 ${\displaystyle 1}$
• 항등식: ${\displaystyle \operatorname {Rng} }$의 항등식 및 ${\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1}$

가환환의 모임 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$은 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$의 부분다양체이다.

이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 표수가 ${\displaystyle n}$의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다.

체의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 ${\displaystyle ^{-1}}$은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 ${\displaystyle \operatorname {Ring} }$의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, ${\displaystyle 0^{-1}}$으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(영어: commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.^[2] 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$의 연산 및 일항연산 ${\displaystyle ^{-1}}$
• 항등식: ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$의 항등식 및 ${\displaystyle xx^{-1}x=x}$, ${\displaystyle x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}}$

이 경우, 항등식들에 따라 항상 ${\displaystyle 0^{-1}=0}$이 된다.

격자의 다양체

격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 이항연산 ${\displaystyle \vee }$ 및 ${\displaystyle \wedge }$
• 항등식:
  • (교환 법칙) ${\displaystyle a\vee b=b\vee a}$, ${\displaystyle a\wedge b=b\wedge a}$
  • (결합 법칙) ${\displaystyle (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)}$, ${\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)}$
  • (흡수 법칙) ${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a}$

모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.

유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

• 연산: 격자의 연산 및 영항연산 ${\displaystyle \bot }$ 및 ${\displaystyle \top }$
• 항등식: 격자의 항등식 및 ${\displaystyle a\vee \bot =a}$, ${\displaystyle a\wedge \top =a}$

헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다.

완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.