모스크바 수학 파피루스

모스크바 수학 파피루스(Moscow Mathematical Papyrus)는 첫 비이집트인 소유주인 이집트학자 블라디미르 골레니셰프의 이름을 따서 골레니셰프 수학 파피루스라고도 불리며, 산술, 기하학, 대수학의 여러 문제를 담고 있는 고대 이집트 수학 파피루스이다. 골레니셰프는 1892년 또는 1893년에 테베에서 이 파피루스를 구입했다. 이후 모스크바의 푸시킨 국립 미술관 소장품이 되었으며 오늘날까지 그곳에 보관되어 있다.

신관문자 텍스트의 고문자학 및 정자법에 따르면, 이 텍스트는 이집트 제13왕조에 작성되었을 가능성이 가장 높으며, 아마도 기원전 약 1850년 이집트 제12왕조로 거슬러 올라가는 오래된 자료를 기반으로 했을 것이다.^[1] 길이가 약 5.5m(18피트)이고 너비가 3.8 and 7.6 cm (1.5 and 3 in) 사이로 다양한 이 문서는 1930년 소련의 동양학자 바실리 바실리예비치 스트루베^[2]에 의해 25개의 문제와 해답으로 나뉘었다.^[3]

이는 린드 수학 파피루스와 함께 자주 언급되는 잘 알려진 수학 파피루스이다. 모스크바 수학 파피루스는 린드 수학 파피루스보다 오래되었지만, 후자가 둘 중 더 크다.^[4]

모스크바 파피루스에 포함된 연습 문제

모스크바 파피루스의 문제들은 특별한 순서 없이 배열되어 있으며, 문제의 해설은 린드 수학 파피루스보다 훨씬 간략하다. 이 파피루스는 몇몇 기하학 문제로 잘 알려져 있다. 문제 10과 14는 각각 절두체의 표면적과 부피를 계산한다. 나머지 문제들은 더 일반적인 성격이다.^[1]

선박 부품 문제

문제 2와 3은 선박 부품 문제이다. 한 문제는 선박 키의 길이를 계산하고, 다른 문제는 원래 30 큐빗 길이의 삼나무 통나무의 1/3 + 1/5 길이로 주어진 선박 돛대의 길이를 계산한다.^[1]

아하 문제

ꜥḥꜥ (aha)
신왕국 시대 (1550–1069 BC)
신성문자 표기

아하 문제는 미지의 양(아하, "더미"라고 불림)과 그 일부의 합이 주어졌을 때 미지의 양을 찾는 것을 포함한다. 린드 수학 파피루스에도 이러한 유형의 문제가 4개 포함되어 있다. 모스크바 파피루스의 문제 1, 19, 25는 아하 문제이다. 예를 들어, 문제 19는 어떤 양을 1과 1/2배 하여 4를 더하면 10이 될 때 그 양을 계산하도록 요구한다.^[1] 즉, 현대 수학 표기법으로는 ${\displaystyle {\frac {3}{2}}x+4=10}$을 풀도록 요구하는 것이다.

페프수 문제

문제의 대부분은 페프수 문제이다(참고: 이집트 대수학): 25개의 문제 중 10개. 페프수는 헤카트 곡물로 만든 맥주의 강도를 측정한다.

${\displaystyle {\mbox{페프수}}={\frac {\mbox{빵 덩어리 수 (또는 맥주 주전자 수)}}{\mbox{헤카트 곡물 수}}}}$

페프수 숫자가 높을수록 빵이나 맥주가 약하다는 것을 의미한다. 페프수 숫자는 많은 봉헌 목록에 언급되어 있다. 예를 들어, 문제 8은 다음과 같이 번역된다.

(1) 페프수 20의 빵 100덩이를 계산하는 예

(2) 만약 누군가가 당신에게 말하길: "당신은 페프수 20의 빵 100덩이를 가지고 있습니다

(3) 페프수 4의 맥주로 교환할 것입니다

(4) 1/2 1/4 보리-대추 맥주와 같이"

(5) 먼저 페프수 20의 빵 100덩이에 필요한 곡물을 계산하십시오

(6) 결과는 5 헤카트입니다. 그런 다음 1/2 1/4 보리-대추 맥주라고 불리는 맥주와 같은 데스-단지 맥주에 필요한 것을 계산하십시오

(7) 결과는 상이집트 곡물로 만든 데스-단지 맥주에 필요한 헤카트 측정량의 1/2입니다.

(8) 5 헤카트의 1/2을 계산하십시오, 결과는 2 1/2이 될 것입니다

(9) 이 2 1/2을 네 번 취하십시오

(10) 결과는 10입니다. 그런 다음 당신은 그에게 말합니다:

(11) "보십시오! 맥주 양이 정확하다는 것이 확인되었습니다."^[1]

바쿠 문제

문제 11과 23은 바쿠 문제이다. 이 문제들은 노동자의 생산량을 계산한다. 문제 11은 누군가가 5x5 크기의 통나무 100개를 가져왔다면, 이는 4x4 크기의 통나무 몇 개에 해당하는지를 묻는다. 문제 23은 신발 제작자가 샌들을 자르고 장식해야 할 때 그의 생산량을 찾는다.^[1]

기하학 문제

25개 문제 중 7개는 기하학 문제로, 삼각형의 넓이를 계산하는 것부터 반구의 표면적(문제 10)과 절두체(절두피라미드)의 부피를 찾는 것까지 다양하다.^[1]

두 가지 기하학 문제

문제 10

모스크바 수학 파피루스의 열 번째 문제는 반구의 표면적(스트루베, 길링스) 또는 아마도 반원통의 넓이(피트)를 계산하도록 요구한다. 아래에서는 이 문제가 반구의 넓이를 나타낸다고 가정한다.

문제 10의 텍스트는 다음과 같다: "바구니 계산의 예. 입구가 4 1/2인 바구니가 주어졌다. 그 표면적은 얼마인가? 바구니가 반쪽 달걀 껍질이므로 9의 1/9을 취하라. 1을 얻는다. 나머지 8을 계산하라. 8의 1/9을 계산하라. 2/3 + 1/6 + 1/18을 얻는다. 이 8에서 2/3 + 1/6 + 1/18을 뺀 나머지를 구하라. 7 + 1/9을 얻는다. 7 + 1/9에 4 + 1/2를 곱하라. 32를 얻는다. 보라, 이것이 그 면적이다. 너는 그것을 정확하게 찾았다."^[1][5]

이 해법은 면적을 다음과 같이 계산하는 것과 같다.

${\displaystyle {\text{면적}}=(((2\times {\text{지름}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{지름}}={\frac {128}{81}}({\text{지름}})^{2}}$

이 공식은 반구의 면적을 계산하며, 모스크바 파피루스의 서기관은 ${\displaystyle {\frac {256}{81}}\approx 3.16049}$를 사용하여 원주율을 근사했다.

문제 14: 사각뿔 절두체의 부피

모스크바 수학 파피루스의 14번째 문제는 절두체의 부피를 계산한다.

문제 14는 그림과 같이 밑면이 길이 4단위의 정사각형이고 윗면이 길이 2단위의 정사각형이며 높이가 6단위인 방식으로 피라미드가 절단되었다고 명시한다. 부피는 56입방단위로 계산되며, 이는 정확하다.^[1]

예시 텍스트는 다음과 같다: "만약 당신에게 말하기를: 수직 높이가 6이고 밑변이 4, 윗면이 2인 절두피라미드: 당신은 4를 제곱해야 합니다; 결과는 16. 당신은 4를 두 배 해야 합니다; 결과는 8. 당신은 이 2를 제곱해야 합니다; 결과는 4. 당신은 16과 8과 4를 더해야 합니다; 결과는 28. 당신은 6의 1/3을 취해야 합니다; 결과는 2. 당신은 28을 두 번 취해야 합니다; 결과는 56. 보십시오, 56입니다. 당신은 [그것이] 옳다는 것을 알게 될 것입니다"^[6]

이 문제의 해법은 이집트인들이 절두피라미드의 부피를 구하는 올바른 공식을 알고 있었음을 나타낸다:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

여기서 a와 b는 절두피라미드의 밑면과 윗면의 길이이고 h는 높이이다. 연구자들은 이집트인들이 절두체의 부피 공식을 어떻게 도출했을지 추측했지만, 이 공식의 유도 과정은 파피루스에 나와 있지 않다.^[7]

요약

리처드 J. 길링스(Richard J. Gillings)는 파피루스 내용에 대한 간략한 요약을 제공했다.^[8] 위선이 있는 숫자는 해당 숫자를 분모로 하는 단위분수를 나타낸다. 예를 들어 ${\displaystyle {\bar {4}}={\frac {1}{4}}}$이다. 단위분수는 고대 이집트 수학에서 흔한 연구 대상이었다.

모스크바 수학 파피루스의 내용^[a]

번호	세부 사항
1	손상되어 읽을 수 없음.
2	손상되어 읽을 수 없음.
3	삼나무 돛대. ${\displaystyle {\bar {3}}\;{\bar {5}}}$ of ${\displaystyle 30=16}$. 불분명.
4	삼각형의 면적. ${\displaystyle {\bar {2}}}$ of ${\displaystyle 4\times 10=20}$.
5	빵과 빵의 페수. 8번과 동일.
6	직사각형, 면적 ${\displaystyle =12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l}$. ${\displaystyle l}$과 ${\displaystyle b}$를 찾기.
7	삼각형, 면적 ${\displaystyle =20,h=2\;{\bar {2}}b}$. ${\displaystyle h}$와 ${\displaystyle b}$를 찾기.
8	빵과 빵의 페수.
9	빵과 빵의 페수.
10	반구(또는 원통)의 곡면 면적.
11	빵과 바구니. 불분명.
12	맥주의 페수. 불분명.
13	빵과 맥주의 페수. 9번과 동일.
14	절두피라미드의 부피. ${\displaystyle V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})}$.
15	맥주의 페수.
16	맥주의 페수. 15번과 유사.
17	삼각형, 면적 ${\displaystyle =20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h}$. ${\displaystyle h}$와 ${\displaystyle b}$를 찾기.
18	큐빗과 손바닥으로 천 측정. 불분명.
19	방정식 ${\displaystyle 1\;{\bar {2}}x+4=10}$ 풀기. 명확함.
20	1000개의 빵의 페수. 호루스 눈 분수.
21	희생 빵 섞기.
22	빵과 맥주의 페수. 교환.
23	구두장이의 작업량 계산. 불분명. 피트(Peet)는 매우 어렵다고 말함.
24	빵과 맥주의 교환.
25	방정식 ${\displaystyle 2x+x=9}$ 풀기. 초등적이고 명확함.

다른 파피루스

고대 이집트의 다른 수학 문서에는 다음이 포함된다:

• 베를린 파피루스 6619
• 이집트 수학 가죽 두루마리
• 라훈 수학 파피루스
• 린드 수학 파피루스

일반 파피루스:

• 파피루스 하리스 1세
• 롤린 파피루스

2/n 표는 다음을 참조하십시오:

• RMP 2/n 표

같이 보기

• 고대 이집트 파피루스 목록

내용주

1. 이 표는 길링스(Gillings)의 저서 『파라오 시대의 수학(Mathematics in the Time of the Pharaohs)』 246-247쪽을 그대로 옮긴 것이다. 다른 장에 대한 참조는 생략되었다. 문제 5, 8-9, 13, 15, 20-22, 24에 대한 설명은 페수 문제에 대한 정보를 위해 "12장 참조"로 끝났고, 문제 19에 대한 설명은 선형 및 2차 방정식에 대한 정보를 위해 "14장 참조"로 끝났고, 문제 10과 14에 대한 설명은 반원통 또는 반구의 표면적에 대한 정보를 위해 "18장 참조"로 끝났다.