무작위 행렬

무작위 행렬 이론（無作爲 行列 理論, random matrix theory）은 성분이 확률변수로 주어지는 행렬을 대상으로 그 스펙트럼 및 통계적 성질을 연구하는 이론 체계이다. 양자 혼돈 이론, 핵물리학, 통계역학, 수론 등 다양한 분야에서 응용되며, 특히 리만가설과 관련된 비자명한 영점의 분포와 깊은 상관성을 가진다.

개요

무작위 행렬 이론은 주어진 확률 분포를 따르는 행렬의 고윳값, 고유벡터, 행렬식 등의 통계적 성질을 분석한다. 초기에는 핵물리학의 에너지 준위 분포 연구에서 출발하였으며, 이후 수리물리학, 수론, 데이터 과학 등으로 확대되었다.

주요 무작위 행렬족

• 가우스 정규 직교 앙상블（GOE）: 실대칭 행렬의 고윳값 분포
• 가우스 정규 유니타리 앙상블（GUE）: 에르미트 행렬의 고윳값 분포
• 가우스 정규 심플렉틱 앙상블（GSE）: 심플렉틱 대칭성을 가지는 경우
• 위샤르트 행렬：분산 분석과 관련된 공분산 행렬의 통계

고윳값 분포

${\displaystyle P(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N})\propto \prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }\cdot \exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \beta }$는 앙상블의 유형에 따라 달라지며, ${\displaystyle \beta =1}$ (GOE), ${\displaystyle \beta =2}$ (GUE), ${\displaystyle \beta =4}$ (GSE)이다. 이 분포는 고윳값 간의 반발 효과(level repulsion)를 수반하며, 양자 혼돈 이론과의 유비를 가능하게 한다.

수론과의 연결

• 몽고메리의 쌍대간격 추측에 따르면, 리만 제타 함수의 비자명한 영점 간 간격 분포는 GUE 앙상블의 고윳값 분포와 유사하다.
• 오딜로프-멜론 및 커츠-서넥의 연구는 고차 통계량의 유사성을 입증하였다.
• 힐베르트-폴리야 추측은 이러한 유비를 기반으로, 리만 제타 함수의 영점이 자기수반 연산자의 스펙트럼이라는 가설을 제안한다.

응용

• 양자역학: 혼돈계의 에너지 준위 통계
• 정보이론: MIMO 통신, 신호처리
• 수치해석: 수치 안정성 분석
• 데이터 과학: 고차원 통계 및 주성분 분석

관련 어휘

• 에르미트 행렬
• 고윳값 통계
• 스펙트럼 이론
• 리만 제타 함수
• 힐베르트-폴리야 추측
• 비자명한 영점
• 양자 혼돈 이론