비자명한 영점

비자명한 영점（非自明 零點(非自明한 零點), nontrivial zero）은 리만 제타 함수 ${\displaystyle \zeta (s)}$가 0이 되는 복소수 ${\displaystyle s}$ 중에서, 이른바 '자명하지 않은' 해를 말한다. 리만 제타 함수는 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$에서 수렴하는 급수 정의를 가지며, 해석적 계속을 통해 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ 전역으로 확장된다.

자명한 영점과의 구별

리만 제타 함수는 음의 짝수 ${\displaystyle s=-2,-4,-6,\dots }$에서 0이 되는데, 이러한 해는 감마 함수 및 함수방정식에 의해 구조적으로 발생하며, 이를 자명한 영점（自明한 零點）이라 한다.

반면, ${\displaystyle 0<\mathrm {Re} (s)<1}$ 영역에 존재하는 영점은 비자명한 영점으로 불리며, 리만가설은 이들이 모두 임계선 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$ 위에 놓인다는 명제를 주장한다.

수학적 정의

비자명한 영점은 ${\displaystyle \zeta (s)=0}$이고 ${\displaystyle s\notin \{-2,-4,-6,\dots \}}$인 ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$로 정의된다.

통계적 성질

• 비자명한 영점은 복소수 평면 상의 임계대(critical strip) ${\displaystyle 0<\mathrm {Re} (s)<1}$ 내에 위치한다.
• 리만가설은 이들이 모두 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$에 존재함을 주장한다.
• 몽고메리의 짝수간격 추측과 무작위 행렬 이론은 영점 사이 간격의 통계가 양자 혼돈 이론의 에너지 준위 분포와 유사함을 보여준다.

관련 어휘

• 리만 제타 함수
• 자명한 영점
• 리만가설
• 해석적 수론
• 무작위 행렬 이론