바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 ${\displaystyle \wp }$.

바이어슈트라스 타원함수의 그래프. ${\displaystyle (g_{2},g_{3})=(1+i,2-3i)}$인 경우이며, 이 경우 주기는 ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})\approx (0.79+2.26i,2.44+0.31i)}$이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.

정의

바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합

${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (z;\tau )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m+\tau n)^{2}}}-{\frac {1}{(m+\tau n)^{2}}}\right)}$

타원곡선 모듈러스 ${\displaystyle \tau }$ 대신 격자 주기 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$를 써서 다음과 같이 ${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2}}$)를 정의하기도 한다.

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})}$

미분 방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})^{2}=4\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})^{3}-g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})-g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

여기서 ${\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2}u)={{\partial \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} \over {\partial z}}}$이다. ${\displaystyle g_{2}}$와 ${\displaystyle g_{3}}$는 타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$와 다음과 같은 관계를 가진다.

${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}}$

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} /\Lambda \to \mathbb {CP} ^{2}}$

${\displaystyle f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]}$

를 정의하면, 이는 원환면 ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$로부터 타원곡선 ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \Lambda }$는 ${\displaystyle \tau }$에 대한 격자

${\displaystyle \Lambda =\{m+n\tau \colon m,n\in \mathbb {Z} \}}$

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$에 대하여,

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z+n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2};\omega _{1},\omega _{2})}$

또한, 모듈러 매개변수 ${\displaystyle \tau }$에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;\tau +1)=\wp (z;-1/\tau )}$

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (-z;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle \wp$ ;(z;\omega _{1},\omega _{2})=-\wp '(-z;\omega _{1},\omega _{2})}

바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})}$는 타원 곡선 ${\displaystyle \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle }$에서 리만 구면 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$이라고 쓰며, 다음과 같다.

${\displaystyle {\widehat {\infty }}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{1}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

덧셈 공식

삼각함수나 야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(영어: addition formula)을 만족시킨다.

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right)^{2}-\wp (z)-\wp (y)}$

만약 ${\displaystyle z=y}$인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right)^{2}-2\wp (z)}$

야코비 타원함수와의 관계

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {dn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {cn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}}$

여기서

${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}$

${\displaystyle m=(e_{2}-e_{3})/(e_{1}-e_{3})}$

이다.

역함수

바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

${\displaystyle u=\int _{\wp (u;\tau )}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}(\tau )s-g_{3}(\tau )}}}}$

이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},{\widehat {\infty }}\}}$에서 분지점을 갖는다.

역사

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

같이 보기

• 바이어슈트라스 제타 함수
• ${\displaystyle j}$-불변량

참고 문헌

• Brizard, Alain J. “A primer on elliptic functions with applications in classical mechanics” (영어). arXiv:0711.4064. Bibcode:2007arXiv0711.4064B.

외부 링크

• “Weierstrass elliptic functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass elliptic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.