바이어슈트라스 M-판정법

해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.^[1]

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수

집합 ${\displaystyle S}$ 및 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {K} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle |f_{n}(s)|\leq M_{n}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$는 균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다.

임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}\right|<\epsilon }$

삼각 부등식에 따라, 임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여,

${\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|\leq \sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(s)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{n}<\epsilon }$

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수

보다 일반적으로, 집합 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$ 및 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \Vert f_{n}(s)\Vert \leq M_{n}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$는 균등 수렴한다.

증명:

유계 함수 ${\displaystyle S\to X}$의 벡터 공간 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}$ 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))}$

이 경우 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}$는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle \Vert f_{n}\Vert _{\infty }\leq M_{n}}$이며, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }$이므로, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{\infty }<\infty }$이다. 즉, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

예

다음과 같은 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$)을 생각하자.

${\displaystyle f_{n}\colon x\mapsto x^{2}\exp(-nx)}$

그렇다면

${\displaystyle f_{n}'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)}$

이므로 각 ${\displaystyle f_{n}}$은 ${\displaystyle \textstyle x={\frac {2}{n}}}$에서 최댓값 ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}\exp(-2)}$을 가진다. ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty }$이므로, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.

역사

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

같이 보기

• 균등 수렴