코시 수렴 판정법

해석학에서 코시 수렴 판정법(영어: Cauchy’s convergence test)은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수

${\displaystyle \mathbb {K} }$ 위의 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|{\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\right|<\epsilon }$

여기서 ${\displaystyle |\cdot |}$는 절댓값이다.

증명:

첫 번째 조건은 부분합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}}$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. ${\displaystyle \mathbb {K} }$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 급수

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$ 위의 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq X}$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:8, §1.2, Theorem 1.2.1}

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \Vert {\sum _{k=m+1}^{n}x_{k}}\Vert <\epsilon }$

증명:

첫 번째 조건은 부분합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}x_{k}}$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. ${\displaystyle X}$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

함수항 급수

집합 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} }$값 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {K} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon }$

증명:

${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }}$가 존재한다.

임의의 ${\displaystyle n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle n>m>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여,

${\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right|=\left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|\leq \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right|+\left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon }$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다고 가정하자.

임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|<\epsilon }$

그렇다면, 각 ${\displaystyle s\in S}$에서의 부분합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 위의 코시 수열이며, 따라서 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)}$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 ${\displaystyle m>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right|<\epsilon }$

이에 따라, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$ 및 ${\displaystyle X}$값 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon S\to X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon }$

증명:

${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }}$가 존재한다.

임의의 ${\displaystyle n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert <{\frac {\epsilon }{2}}}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle n>m>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여,

${\displaystyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{n}(s)\right\Vert =\left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert \leq \left\Vert \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)\right\Vert +\left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon }$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$가 존재한다고 가정하자.

임의의 ${\displaystyle m,n>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon }$

그렇다면, 각 ${\displaystyle s\in S}$에서의 부분합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}(s)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 위의 코시 수열이며, 따라서 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(s)}$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 ${\displaystyle m>N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(s)-\sum _{k=0}^{m}f_{k}(s)\right\Vert <\epsilon }$

이에 따라, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$은 균등 수렴한다.

임의의 집합 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$에 대하여, 유계 함수 ${\displaystyle S\to X}$의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}$은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))}$

만약 각 ${\displaystyle f_{n}}$이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}}$이 상한 노름에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)}$ 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

따름정리

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 ${\displaystyle n=m+1}$을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

관련 정리

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법

임의의 열린구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 및 ${\displaystyle a\in I}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 함수의 극한 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$이 존재한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 ${\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle 0<|x-a|,|y-a|<\delta _{\epsilon }}$에 대하여, ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법

이상 적분

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {K} }$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$는 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 ${\displaystyle M>a}$가 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle x,y>M}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \left|{\int _{x}^{y}f(t)\mathrm {d} t}\right|<\epsilon }$