바일 지표 공식

리 군 표현론에서 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 유한 차원 표현 ${\displaystyle r\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V;K)}$의 지표(指標, 영어: character)는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon {\mathfrak {g}}\to K}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon x\mapsto \operatorname {tr} _{K}\exp(r(x))}$

여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수가 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cong {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$이며, 그 바일 군은 ${\displaystyle \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}$이다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 양근들의 집합을 ${\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$라고 하자.
• ${\displaystyle V}$는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게는 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$이다.

바일 군의 원소 ${\displaystyle w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}$는 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 위에 표현

${\displaystyle w\cdot \colon {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$

을 가진다. 이 표현의 행렬식 ${\displaystyle \det w}$은 바일 군의 원소의 길이(영어: length)${\displaystyle \operatorname {length} w}$와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 ${\displaystyle w}$의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우

${\displaystyle \det w=(-1)^{\operatorname {length} (w)}}$

이다.

그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)\colon x\mapsto \left(\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}{\frac {1}{2\sinh({\frac {1}{2}}\alpha (x))}}\right)\sum _{w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}(\det w)\exp \left(w\cdot (\lambda (x)+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}\alpha (x))\right)}$

특수한 경우

바일 차원 공식

지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 ${\displaystyle x=0}$을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 ${\displaystyle x\to 0}$인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \dim V={\frac {\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}}$

여기서

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

이다.

바일 분모 공식

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다.

${\displaystyle \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}2\sinh \left({\frac {1}{2}}\alpha (x)\right)=\sum _{w\in \operatorname {Weyl} ({\mathfrak {g}})}(\det w)\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}})}\exp \left({\frac {1}{2}}w\cdot \alpha (x)\right)}$

예

가장 간단한 복소수 단순 리 대수인 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군 ${\displaystyle x\mapsto -x}$이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$이므로, 기본 무게의 길이는 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$이다.

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. ${\displaystyle n}$차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 ${\displaystyle (n-1)}$배이다. 따라서, ${\displaystyle n}$차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ch} _{n}(x)={\frac {1}{2\sinh(x/{\sqrt {2}}))}}\left(\exp(nx/{\sqrt {2}})-\exp(-nx/{\sqrt {2}})\right)={\frac {\sinh(nx/{\sqrt {2}})}{\sinh(x/{\sqrt {2}}))}}}$

이다. ${\displaystyle x\to 0}$ 극한을 취하면, 바일 차원 공식

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\operatorname {ch} _{n}(x)=n}$

을 얻는다.

역사

헤르만 바일이 발견하였다.^[1][2][3]

같이 보기

• 군 표현의 지표