반례

반례(counterexample)는 일반화에 대한 예외이다. 논리학에서 반례는 일반화를 반박하며, 수학과 철학 분야에서 엄밀하게 그렇게 한다.^[1] 예를 들어, "학생 존 스미스는 게으르지 않다"는 사실은 "학생들은 게으르다"는 일반화에 대한 반례이며, "모든 학생은 게으르다"는 전칭 기호에 대한 반례이자 반증이다.^[2]

수학에서

수학에서 반례는 종종 가능한 정리의 한계를 증명하는 데 사용된다. 특정 추측이 거짓임을 보여주는 반례를 사용함으로써, 수학 연구자들은 막다른 길로 가는 것을 피하고 증명 가능한 정리를 생성하도록 추측을 수정하는 법을 배울 수 있다. 수학적 발전은 주로 정리와 반례를 찾는 (그리고 증명하는) 것으로 구성된다고 말하기도 한다.^[3]

직사각형 예시

한 수학자가 기하학과 모양을 연구하며, 그것들에 대한 특정 정리를 증명하고자 한다고 가정해 보자. 그녀는 "모든 직사각형은 정사각형이다"라고 추측하며, 이 진술이 참인지 거짓인지 아는 데 관심이 있다.

이 경우, 그녀는 연역을 사용하여 진술의 진실을 증명하려고 시도하거나, 진술이 거짓이라고 의심하면 그 진술의 반례를 찾으려고 시도할 수 있다. 후자의 경우, 반례는 길이가 5인 두 변과 길이가 7인 두 변을 가진 직사각형과 같이 정사각형이 아닌 직사각형이 될 것이다. 그러나 그녀가 찾은 정사각형이 아닌 직사각형에도 불구하고, 그녀가 찾은 모든 직사각형은 네 변을 가지고 있었다. 그녀는 "모든 직사각형은 네 변을 가지고 있다"는 새로운 추측을 한다. 이 추측은 원래 추측보다 논리적으로 약한데, 모든 정사각형은 네 변을 가지고 있지만 모든 네 변을 가진 모양이 정사각형은 아니기 때문이다.

위의 예시는 수학자가 반례에 직면하여 추측을 어떻게 약화시킬 수 있는지를 단순화된 방식으로 설명했지만, 반례는 특정 가정과 가설의 필요성을 입증하는 데도 사용될 수 있다. 예를 들어, 한참 후에 위의 수학자가 "직사각형이고 네 변의 길이가 같은 모든 모양은 정사각형이다"라는 새로운 추측에 정착했다고 가정해 보자. 이 추측은 가설에 두 부분이 있다: 모양은 '직사각형'이어야 하고 '네 변의 길이가 같아야' 한다. 그러면 수학자는 이 가정 중 어느 하나를 제거할 수 있는지, 그리고 여전히 추측의 진실을 유지할 수 있는지 알고 싶어 할 것이다. 이는 그녀가 다음 두 진술의 진실을 확인해야 한다는 것을 의미한다.

1. "모든 직사각형인 모양은 정사각형이다."
2. "네 변의 길이가 같은 모든 모양은 정사각형이다."

(1)에 대한 반례는 이미 위에서 주어졌고, (2)에 대한 반례는 정사각형이 아닌 마름모이다. 따라서 수학자는 이제 각 가정이 그 자체로는 불충분하다는 것을 안다.

다른 수학적 예시

 위상수학에서의 반례 및 최소 반례 문서를 참고하십시오.

"모든 소수는 홀수이다"라는 진술에 대한 반례는 2이다. 2는 소수이지만 홀수가 아니기 때문이다.^[1] 7이나 10은 둘 다 진술과 모순될 만큼 충분하지 않으므로 반례가 아니다. 이 예에서 2는 사실 진술에 대한 유일한 가능한 반례이지만, 그것만으로도 진술과 모순하기에 충분하다. 비슷한 방식으로, "모든 자연수는 소수이거나 합성수이다"라는 진술은 1을 반례로 가진다. 1은 소수도 합성수도 아니기 때문이다.

오일러 거듭제곱 합 추측은 반례에 의해 반증되었다. 이 추측은 다른 n^th 제곱에 합산하려면 최소 n개의 n^th 제곱이 필요하다고 주장했다. 이 추측은 1966년에 반증되었으며,^[4] n = 5를 포함하는 반례가 있었고, 현재는 다른 n = 5 반례와 일부 n = 4 반례도 알려져 있다.^[5]

비첸하우젠의 반례는 제어 문제의 경우에 손실 함수가 이차 함수이고 상태 변수의 진화 선형 방정식이 최적 제어 법칙이 선형임을 의미하는 것이 항상 참은 아니라는 것을 보여준다.

모든 유클리드 평면 등거리 변환은 넓이를 보존하는 매핑이지만, 역은 전단변환행렬과 압착 변환의 반례에서 볼 수 있듯이 거짓이다.

다른 예로는 자이페르트 추측, 폴리아 추측, 힐베르트의 14번째 문제, 테이트 추측, 그리고 가네아 추측의 반증이 있다.

철학에서

철학에서 반례는 일반적으로 특정 철학적 입장이 특정 경우에 적용되지 않음을 보여줌으로써 그 입장이 틀렸다고 주장하는 데 사용된다. 대안적으로, 첫 번째 철학자는 반례가 더 이상 적용되지 않도록 자신의 주장을 수정할 수 있다. 이는 수학자가 반례 때문에 추측을 수정하는 것과 유사하다.

예를 들어, 플라톤의 고르기아스에서 칼리클레스는 어떤 사람들이 다른 사람들보다 "더 낫다"고 말하는 것이 무엇을 의미하는지 정의하려고 시도하면서, 더 강한 사람들이 더 낫다고 주장한다. 소크라테스는 수적으로 강하기 때문에 평민 계층이 귀족 계층보다 강하다고 답한다. 비록 대중이 일견 더 나쁜 성격을 가지고 있더라도 말이다. 따라서 소크라테스는 칼리클레스가 아마 예상하지 못했던 영역, 즉 개별적인 사람보다는 사람들의 집단을 보면서 칼리클레스의 주장에 대한 반례를 제시했다.

칼리클레스는 소크라테스의 반례에 이의를 제기할 수 있는데, 아마 평민들이 실제로 귀족보다 낫다고 주장하거나, 심지어 많은 수에도 불구하고 여전히 강하지 않다고 주장할 수 있다. 그러나 칼리클레스가 반례를 받아들인다면, 그는 자신의 주장을 철회하거나, 반례가 더 이상 적용되지 않도록 수정해야 한다. 예를 들어, 그는 자신의 주장을 개별적인 사람들에게만 해당하도록 수정할 수 있으며, 그에게는 평민을 폭도라기보다는 개인의 집합으로 생각하도록 요구할 수 있다. 실제로, 그는 "더 강하다" 대신 "더 현명하다"고 주장을 수정하며, 아무리 수적으로 우월해도 사람들을 더 현명하게 만들 수는 없다고 주장한다.

같이 보기

• 모순
• 예외 없는 규칙은 없다
• 최소 반례