반소환

환론에서 반소환(半素環, 영어: semiprime ring)은 멱영 아이디얼이 영 아이디얼 밖에 없는 환이다. 축소환과 소환의 공통적인 일반화이다.

정의

환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반소환이라고 한다.

• 영 아이디얼이 반소 아이디얼이다.^{[1]:168, Definition 10.15}
• 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle _{R}{\mathfrak {a}}_{R}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{2}=0}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=0}$이다.^{[1]:169, Proposition 10.16(3)}
• 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle _{R}{\mathfrak {A}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{2}=0}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=0}$이다.^{[1]:169, Proposition 10.16(4)}
• 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{R}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{2}=0}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=0}$이다.^{[1]:169, Proposition 10.16(4)}

성질

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]:153

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
左·右 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
左·右 원시환		소환		반소환