소환 (환론)

환론에서 소환(素環, 영어: prime ring)은 아이디얼이 곱셈에 대하여 영인자를 갖지 않는 환이다. 정역의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.

정의

임의의 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 소환이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle r,s\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle rRs=\{0\}}$이라면 ${\displaystyle r=0}$이거나 ${\displaystyle s=0}$이다.
• 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.^[1]:158
• 임의의 두 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(0)}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(0)}$이거나 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(0)}$이다.
• 임의의 두 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}=(0)}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(0)}$이거나 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=(0)}$이다.
• 임의의 두 오른쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subseteq R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}=(0)}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(0)}$이거나 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=(0)}$이다.
• 모든 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 충실한 가군이다.
• 모든 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 충실한 가군이다.

성질

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]:153

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
左·右 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
左·右 원시환		소환		반소환

소환 ${\displaystyle R}$의 중심 ${\displaystyle Z(R)}$는 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.^{[1]:168, Exercise 10.0}

예

정역 ${\displaystyle D}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;D)}$은 소환이다.