시그마 콤팩트 공간

일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, 영어: sigma-compact space)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

정의

시그마 콤팩트 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.

• 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합이다. 즉, ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }K_{i}}$인 콤팩트 집합의 열 ${\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}$가 존재한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.^[1]:289

반콤팩트 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 다음 조건을 만족시키면, 반콤팩트 공간이라고 한다.

• 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 ${\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}$가 존재한다.
  • 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq K_{i}}$인 자연수 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다.

증명:

국소 콤팩트 린델뢰프 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,

${\displaystyle U_{i}\subseteq K_{i}\qquad (\forall i\in I)}$

인 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 ${\displaystyle (K_{i})_{i\in I}}$가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$의 가산 부분 덮개 ${\displaystyle \{i_{0},i_{1},\dots \}\subseteq I}$를 잡자. 이제,

${\displaystyle C_{n}=K_{i_{0}}\cup \cdots \cup K_{i_{n}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$는 ${\displaystyle \{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots \}}$의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 ${\displaystyle C_{n}}$에 포함된다. 즉, ${\displaystyle X}$는 반콤팩트 공간이다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.

증명:

귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 ${\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq X}$을 잡자.

• 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle K\subseteq K_{i}}$인 자연수 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$이 존재한다.

귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 ${\displaystyle x\in X}$를 잡자. 제1 가산성에 따라, ${\displaystyle x}$의 가산 국소 기저

${\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq \cdots }$

를 잡자. 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle x_{n}\not \in U_{n}\setminus K_{n}}$을 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle K=\{x\}\cup \{x_{0},x_{1},\dots \}}$

는 콤팩트 집합이지만, 어떤 ${\displaystyle K_{n}}$에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.^{[2]:126, Exercise 17I.3} 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

증명:

만약

${\displaystyle X=\bigcup _{i=0}^{\infty }X_{i}}$

${\displaystyle Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }Y_{i}}$

이며, ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$가 콤팩트 집합이라면,

${\displaystyle X\times Y=\bigcup _{i=0}^{\infty }\bigcup _{j=0}^{\infty }X_{i}\times Y_{j}}$

이며, ${\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle B\subseteq Y}$에 대하여, ${\displaystyle A\subseteq X_{i_{A}}}$, ${\displaystyle B\subseteq Y_{j_{B}}}$인 ${\displaystyle i_{A},j_{B}\in \mathbb {N} }$이 존재하며,

${\displaystyle p\colon X\times Y\to X}$

${\displaystyle q\colon X\times Y\to Y}$

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X\times Y}$에 대하여,

${\displaystyle K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}}$

이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.^[1]:316

예

가산 무한 이산 공간 ${\displaystyle \mathbb {N} }$은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}}$은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.^{[2]:126, Exercise 17I.3}

증명:

곱공간을 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$로 적고, 사영 함수들을

${\displaystyle p_{i}\colon \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {N} \qquad (i<\omega )}$

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

${\displaystyle K_{0},K_{1},\dots \subseteq \mathbb {N} ^{\omega }}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p_{i}(K_{j})}$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 ${\displaystyle i<\omega }$에 대하여

${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} \setminus p_{i}(K_{i})}$

를 잡자. 그렇다면,

${\displaystyle (n_{i})_{i<\omega }\not \in K_{0}\cup K_{1}\cup \cdots }$

이므로, ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

증명:

만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

유리수 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

증명:

이는 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.