르베그 덮개 차원

일반위상수학에서 르베그 덮개 차원(-次元, 영어: Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆次元) 또는 위상적 차원(영어: topological dimension)은 위상 공간을 얼마나 ‘효율적으로’ 덮을 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 르베그 덮개 차원 ${\displaystyle \dim X}$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 ${\displaystyle n\geq -1}$이다.

• 임의의 유한 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대하여, ${\displaystyle \max _{x\in X}|\{C\in {\mathcal {C}}\colon x\in C\}|\leq n+1}$인 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 열린 세분 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, ${\displaystyle \dim X=\infty }$로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.^{[1]:Theorem 1}

성질

단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)

임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.

정규 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 르베그 덮개 차원 ${\displaystyle \dim X\leq n}$
• ${\displaystyle X}$의 임의의 닫힌 집합 ${\displaystyle A\subset X}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon A\to S^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle X}$에 대한 확장 ${\displaystyle g\colon X\to S^{n}}$이 존재한다. (${\displaystyle S^{n}}$은 초구)

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle Y}$가 닫힌집합이거나,^{[2]:11, Proposition 2.11} ${\displaystyle X}$가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \dim Y\leq \dim X}$

정규 공간 ${\displaystyle X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle Y,Z\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X=Y\cup Z}$라면, 다음이 성립한다.^{[2]:25, Proposition 4.8} (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)

${\displaystyle \dim(Y\cup Z)\leq \dim Y+\dim Z+1}$

위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식

${\displaystyle \dim(X\times Y)\leq \dim X+\dim Y}$

이 성립한다.

• ${\displaystyle X,Y}$는 콤팩트 공간이다.^{[1]:214, Theorem 4}
• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle Y}$는 정규 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle X\times Y}$는 정규 공간이다.^{[3]:208, Theorem 3.4.6}
• ${\displaystyle X}$는 거리화 가능 공간이며, ${\displaystyle Y}$는 정규 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle X\times Y}$는 정규 공간이다.^{[3]:209–210, Theorem 3.4.9}

다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.

• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle Y}$는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{[3]:207, Theorem 3.4.4}

다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.

• ${\displaystyle X,Y}$는 거리화 가능 공간이다.^{[1]:219, Theorem 8}

정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.^{[3]:182, Exercise 3.1.J}

${\displaystyle \dim \beta X=\dim X}$

예

${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle n}$이다. 보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle n}$차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle n}$이다.

공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다.

르베그 덮개 차원이 ${\displaystyle -1}$인 공간은 공집합밖에 없다.

조르겐프라이 직선 ${\displaystyle S}$의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 ${\displaystyle S\times S}$의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle \infty }$이다.^{[4]:2, Theorem 1}

${\displaystyle \dim S=0}$

${\displaystyle \dim S\times S=\infty }$

역사

앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다.