베로네세 매장

대수기하학에서 베로네세 매장(Veronese埋藏, 영어: Veronese embedding)은 사영 공간을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장하는 방법이다.

정의

임의의 자연수 등급 가환환

${\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여 자연수 등급 가환환

${\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}}$

${\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}}$

을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상은 다음과 같은 스킴의 동형 사상이다.

${\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$는 사영 스펙트럼이다. 특히, 만약 ${\displaystyle R^{[d]}}$가 ${\displaystyle R_{0}}$ 및 ${\displaystyle R_{d}}$만으로 생성된다고 하고, ${\displaystyle R_{d}}$의 ${\displaystyle R_{0}}$-가군으로서의 임의의 생성원 집합을 ${\displaystyle S}$라고 하자. 그렇다면, 몫 환 준동형

${\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}}$

이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]}$

이 존재한다. 이를 베로네세 매장이라고 한다.

사영 공간의 경우

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]}$을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수 ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여,

${\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]}$

이다. 이러한 단항식의 수는

${\displaystyle {\binom {n+d}{d}}}$

이다. ${\displaystyle R^{[d]}}$는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 닫힌 몰입

${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\hookrightarrow \mathbb {P} _{K}^{{\binom {n+d}{d}}-1}}$

을 정의한다. 이를 베로네세 매장(Veronese embedding)라고 한다.

예

자명한 베로네세 사상

차수 ${\displaystyle d}$가 0일 경우, 베로네세 사상 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{0}}$는 상수 함수이며, ${\displaystyle d=1}$일 경우 베로네세 사상 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}$은 항등 함수이다.

유리 정규 곡선

뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 ${\displaystyle (X,Y,Z)}$로 잡으면, 푸른 곡면은 ${\displaystyle Y=Z^{2}}$으로 정의되는 곡면이며, 붉은 곡면은 ${\displaystyle X=Z^{3}}$으로 정의되는 곡면이다. 뒤틀란 3차 곡선은 이 두 곡면의 교집합이다.

${\displaystyle n=1}$일 영우, 베로네세 사상

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

은 ${\displaystyle d}$차원 사영 공간 속의 ${\displaystyle d}$차 유리 곡선을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선(有理正規曲線, 영어: rational normal curve)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.

• ${\displaystyle d=1}$인 경우 이는 항등 함수이다.
• ${\displaystyle d=2}$인 경우, ${\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]}$라고 놓으면, ${\displaystyle Y^{2}=XZ}$가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
• ${\displaystyle d=3}$인 경우, ${\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]}$라고 놓으면, ${\displaystyle XZ-Y^{2}=XW-YZ=YW-Z^{2}=0}$이며, 이는 뒤틀린 3차 곡선(영어: twisted cubic)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.

여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

베로네세 곡면

사영 평면 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$를 5차원 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$에 매장한 것을 베로네세 곡면(Veronese曲面, 영어: Veronese surface)이라고 한다.

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)}$

베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, ${\displaystyle (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)}$에 대한 1차 동차다항식은 ${\displaystyle (x,y,z)}$에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

역사

이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Harris, Joe (1995). 《Algebraic geometry: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 133. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 978-0-387-97716-4. ISSN 0072-5285. MR 1416564. Zbl 0779.14001.

외부 링크

• “Veronese mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Veronese surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Siegel, Charles (2008년 1월 14일). “The Veronese embedding”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).