정규 스킴

대수기하학에서 정규 스킴(正規scheme, 영어: normal scheme)은 모든 국소환이 정수적으로 닫힌 정역인 스킴이다.

정의

국소환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$에서, 만약 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 구조층의 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면, ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$를 정규 국소환 달린 공간(영어: normal locally ringed space)이라고 한다.

정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.^{[1]:91, Exercise II.3.8} 정규환(正規環, 영어: normal ring) ${\displaystyle R}$는 그 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

정규화

임의의 기약 축소 스킴 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ 및 스킴 사상 ${\displaystyle \nu \colon {\tilde {X}}\to X}$가 존재하며, 이를 ${\displaystyle X}$의 정규화(영어: normalization)라고 한다.^{[1]:91, Exercise II.3.8}

• 임의의 기약 정규 스킴 ${\displaystyle Y}$ 및 우세 사상 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$에 대하여, ${\displaystyle f=\nu \circ {\tilde {f}}}$가 되는 스킴 사상 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon Y\to {\tilde {X}}}$가 유일하게 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\forall Y&{\overset {\exists$ !}{\to }}&{\tilde {X}}\\&{\scriptstyle \forall }\searrow &\downarrow \\&&X\end{matrix}}}

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. ${\displaystyle X}$ 위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 ${\displaystyle \{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}}$를 잡았을 때, 각 ${\displaystyle R_{i}}$의 정수적 폐포 ${\displaystyle {\tilde {R}}_{i}}$들의 스펙트럼 ${\displaystyle \{\operatorname {Spec} {\tilde {R}}_{i}\}_{i\in I}}$을 이어붙여 스킴 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$는 가환환의 포함 준동형 ${\displaystyle R_{i}\hookrightarrow {\tilde {R}}_{i}}$으로부터 유도된다.

만약 ${\displaystyle X}$가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 ${\displaystyle X}$의 각 기약 성분 ${\displaystyle X_{i}}$의 정규화 ${\displaystyle {\tilde {X}}_{i}}$들의 분리합집합

${\displaystyle {\tilde {X}}=\bigsqcup _{i}{\tilde {X}}_{i}}$

으로 정의된다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

세르 조건

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.

• R_k: 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\leq k}$라면, 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$는 정칙 국소환이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {ht} }$는 아이디얼의 높이이다.
• S_k: 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {depth} R_{\mathfrak {p}}\geq \min\{k,\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\}}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {depth} }$는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.

세르 조건(영어: Serre’s criterion)에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

조건	뇌터 가환환에 대하여 동치인 조건
정규환	R1 + S2
축소환	R0 + S1
코언-매콜리 환	S∞

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R₁ 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S₂ 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

정규 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 대수다양체 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 정규 대수다양체이다.
• ${\displaystyle K}$ 위의 임의의 대수다양체 ${\displaystyle Y}$ 및 (${\displaystyle Y}$ 전체에 정의된) 및 임의의 유한 쌍유리 사상 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 (대수다양체의) 동형 사상이다.

이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{X,x}}$라고 놓으면, 모든 환 ${\displaystyle S}$에 대하여, 만약 다음 두 조건

• (쌍유리 사상) ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq \operatorname {Frac} R=\operatorname {Frac} S}$
• (유한 사상) ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 가군

이 성립한다면, ${\displaystyle R=S}$이어야 한다.

역사

정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.^[2]