베르마 가군

리 대수의 표현론에서 베르마 가군(वर्मा加群, 영어: Verma module)은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 체 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 표현 ${\displaystyle V}$ (즉, ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}$의 왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, 영어: generalized Verma module)은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {U} (-)}$는 리 대수의 보편 포락 대수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$의 오른쪽 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}$-작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

• ${\displaystyle K}$는 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}}$는 보렐 부분 대수이다.
• ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$는 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$의 무게 ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {b} \to {\mathfrak {b}}/[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\to \mathbb {C} }$를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 베르마 가군이라고 한다.

등급

복소수체 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 및 그 포물형 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위에 자연스러운 등급

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}}$

이 주어지며,

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}}_{0}}$

이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}$는 등급 ${\displaystyle \{-k,-k+1,\dotsc ,k-1,k\}}$에 대한 복소수 등급 대수이며, ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}$는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 표현 ${\displaystyle V}$에 대하여, ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},V)}$-일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V=\bigoplus _{i=-k}^{-1}\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}_{i})\otimes _{K}V}$

성질

베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 무게 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }}$에 대응하는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-최고 무게 가군 ${\displaystyle V}$에 대하여, 유일한 전사 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-표현 준동형

${\displaystyle M_{\lambda }\twoheadrightarrow V}$

가 존재한다.

예

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{a,a^{\dagger },c\}}$

${\displaystyle [a^{\dagger },a]=c}$

${\displaystyle [a^{\dagger },c]=-2a^{\dagger }}$

${\displaystyle [a,c]=2a}$

로 표현될 수 있다. 여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c\}}$를 카르탕 부분 대수로, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c,a^{\dagger }\}}$를 보렐 부분 대수로 잡자.

${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$의 무게는 하나의 복소수 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$로 결정된다. 그 기저를 ${\displaystyle |\lambda \rangle }$로 적자. 즉,

${\displaystyle c|\lambda \rangle =\lambda |\lambda \rangle }$

${\displaystyle a|\lambda \rangle =0}$

이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

${\displaystyle W_{\lambda }=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{|\lambda \rangle ,\alpha ^{\dagger }|\lambda \rangle ,(\alpha ^{\dagger })^{2}|\lambda \rangle ,\dotsc \right\}}$

이 위의 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle c(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle =(\lambda -2n)(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle }$

${\displaystyle a(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle ={\begin{cases}n(\lambda -n+1)(a^{\dagger })^{n-1}|\lambda \rangle &n>0\\0&n=0\end{cases}}}$

만약 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$ (음이 아닌 정수)일 경우,

${\displaystyle a(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle =0}$

이며, 따라서 베르마 가군 ${\displaystyle W_{\lambda }}$의 부분 공간

${\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle ,(a^{\dagger })^{\lambda +2}|\lambda \rangle ,\dotsc \}\subseteq W_{\lambda }}$

는 ${\displaystyle W_{\lambda }}$의 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$의 ${\displaystyle n+1}$차원 표현을 이룬다. 이 조건은 ${\displaystyle \lambda }$가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사

다야난드 베르마가 도입하였다.^[1]

같이 보기

• 리 대수의 표현