베이커 정리

초월수론에서 수학적 학문인 베이커 정리(영어: Baker's theorem)는 대수적 수의 로그의 선형 결합의 절댓값에 대한 하한을 제공한다. 약 15년 전, 알렉산드르 겔폰트는 정수 계수만 있는 이 문제를 "대단히 중요한" 것으로 간주했다.^[1] 앨런 베이커가 1966년, 1967년 각각 증명한 이 결과는 초월수론의 많은 이전 결과들을 포함한다. 베이커는 이를 사용하여 많은 수의 초월성을 증명하고, 일부 디오판토스 방정식의 해에 대한 유효한 상한을 도출했으며, 판별식이 1인 이차 수체를 찾는 판별식 문제를 해결했다.

역사

표기법을 단순화하기 위해 ${\displaystyle \mathbb {L} }$을 0이 아닌 대수적 수의 자연로그 집합이라고 하자. 즉, $${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C}$$ :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},} 여기서 ${\displaystyle \mathbb {C} }$는 복소수의 집합을 나타내고 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$는 대수적 수(유리수 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 대수적 폐포)를 나타낸다. 이 표기법을 사용하면 초월수론의 여러 결과들을 훨씬 쉽게 설명할 수 있다. 예를 들어, 에르미트-린데만 정리는 ${\displaystyle \mathbb {L} }$의 0이 아닌 원소가 초월수라는 진술이 된다.

1934년, 알렉산드르 겔폰트와 테오도어 슈나이더는 독립적으로 겔폰트-슈나이더 정리를 증명했다. 이 결과는 일반적으로 다음과 같이 기술된다: ${\displaystyle a}$가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이고, ${\displaystyle b}$가 대수적 무리수라면, ${\displaystyle a^{b}}$는 초월수이다. 지수 함수는 복소 지수에 대해 다중값 함수이며, 이는 대부분의 경우 무한히 많은 수를 구성하는 모든 값에 적용된다. 그러나 동등하게, 이것은 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$가 유리수에 대해 선형 독립이라면, 이들은 대수적 수에 대해 선형 독립이라는 것을 의미한다. 따라서 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$이고 ${\displaystyle \lambda _{2}}$가 0이 아니라면, 몫 ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$는 유리수이거나 초월수이다. 이것은 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$와 같은 대수적 무리수일 수 없다.

${\displaystyle \mathbb {L} }$의 두 원소에 대해 "유리수 선형 독립성이 대수적 선형 독립성을 함의한다"는 이 결과를 증명하는 것이 자신과 슈나이더의 결과에 충분했지만, 겔폰트는 이 결과를 ${\displaystyle \mathbb {L} }$의 임의의 많은 원소로 확장하는 것이 중요하다고 생각했다. 실제로 Gel'fond (1960, 177쪽)에서:

...초월수론에서 가장 시급한 문제는 대수적 수의 유한 집합의 로그의 초월성 측정에 대한 연구라고 가정할 수 있다.

이 문제는 14년 후 앨런 베이커에 의해 해결되었으며, 그 이후로 초월수론뿐만 아니라 대수적 수론과 디오판토스 방정식 연구에도 수많은 응용이 있었다. 베이커는 이 연구와 디오판토스 방정식에 대한 응용으로 1970년에 필즈상을 받았다.

정리

위의 표기법을 사용하면 베이커 정리는 겔폰트-슈나이더 정리의 비동차 일반화이다. 구체적으로 다음과 같이 진술한다.

베이커 정리—만약 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {L} }$가 유리수에 대해 선형 독립이라면, 모든 대수적 수 ${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{n},}$ (모두 0은 아님)에 대해 다음을 얻는다. $${\displaystyle \left|\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}\right|>H^{-C}}$$ 여기서 H는 ${\displaystyle \beta _{i}}$의 높이의 최댓값이고 C는 n, ${\displaystyle \lambda _{i}}$ 및 ${\displaystyle \beta _{i}}$의 차수의 최댓값 d에 따라 달라지는 효율적으로 계산 가능한 수이다. (만약 ${\displaystyle \beta _{0}}$가 0이 아니면 ${\displaystyle \lambda _{i}}$가 선형 독립이라는 가정을 생략할 수 있다.) 특히 이 수는 0이 아니므로 1과 ${\displaystyle \lambda _{i}}$는 대수적 수에 대해 선형 독립이다.

겔폰트-슈나이더 정리가 ${\displaystyle a^{b}}$ 형태의 수의 초월성에 대한 진술과 동등한 것처럼, 베이커 정리 또한 다음과 같은 형태의 수의 초월성을 함의한다.

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

여기서 b_i는 모두 대수적이고 무리수이며, 1, b₁, ..., b_n은 유리수에 대해 선형 독립이고, a_i는 모두 대수적이며 0 또는 1이 아니다.

Baker (1977) 또한 명시적 상수를 포함하는 여러 버전을 제시했다. 예를 들어, 만약 ${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$의 높이가 ${\displaystyle A_{j}\geq 4}$ 이하이고 모든 수 ${\displaystyle \beta _{j}}$의 높이가 ${\displaystyle B\geq 4}$ 이하일 때 선형 형식

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

은 0이거나 다음을 만족한다.

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

여기서

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

이고 유리수에 의해 생성되는 ${\displaystyle \alpha _{i}}$와 ${\displaystyle \beta _{i}}$의 필드의 차수는 d 이하이다. 특별한 경우로 ${\displaystyle \beta _{0}=0}$이고 모든 ${\displaystyle \beta _{j}}$가 유리 정수일 때, 가장 오른쪽 항 log Ω는 삭제될 수 있다.

정수 계수를 가진 선형 형식 Λ에 대한 베이커와 뷔스톨츠의 명시적인 결과는 다음과 같은 형태의 하한을 제공한다.

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

여기서

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

이고 d는 ${\displaystyle \alpha _{i}}$에 의해 생성되는 수체의 차수이다.

베이커의 방법

베이커 정리의 증명은 Gel'fond (1960, chapter III, section 4)가 제시한 논증의 확장이다. 증명의 주요 아이디어는 Serre (1971)이 기술한 Baker (1966) 정리의 다음 질적 버전의 증명을 통해 설명된다.

만약 0이 아닌 대수적 수 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$에 대해 ${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$이 유리수에 대해 선형 독립이라면, 이들은 대수적 수에 대해서도 선형 독립이다.

베이커 정리의 정확한 정량적 버전은 증명 전반에 걸쳐 어떤 것이 0이라는 조건을 어떤 것이 충분히 작다는 조건으로 대체함으로써 증명될 수 있다.

베이커 증명의 주요 아이디어는 여러 변수의 보조 함수 ${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$를 구성하는 것이다. 이 함수는 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$ 형태의 많은 점에서 높은 차수로 소멸하고, 그런 다음 이 형태의 더 많은 점에서 더 낮은 차수로 소멸함을 반복적으로 보여준다. 마지막으로, 이 형태의 충분히 많은 점에서 (1차로) 소멸한다는 사실은 방데르몽드 행렬식을 사용하여 수 a_i 사이에 곱셈 관계가 있음을 의미한다.

보조 함수의 구성

대수적 수 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n-1}}$에 대해 다음과 같은 관계가 있다고 가정한다.

${\displaystyle \beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

함수 Φ는 다음과 같은 형태이다.

${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

정수 계수 p는 모두 0이 아니도록 선택되며, Φ와 그 상수 M 이하의 도함수는 상수 h에 대해 ${\displaystyle 0\leq l\leq h}$인 정수 ${\displaystyle l}$에 대해 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$에서 소멸한다. 이러한 조건들은 계수 p에 대한 동차 선형 방정식이므로, 미지수 p의 수가 방정식의 수보다 많으면 0이 아닌 해가 존재한다. α의 로그 사이의 선형 관계는 충족해야 하는 선형 방정식의 수를 줄이는 데 필요하다. 또한 시겔의 보조정리를 사용하여 계수 p의 크기가 너무 크지 않도록 선택할 수 있다. 상수 L, h, M은 증명의 다음 부분이 작동하도록 신중하게 조정해야 하며, 대략적으로 다음과 같은 제약 조건을 따른다.

• L은 아래에서 추가 영점에 대한 논증이 작동하도록 M보다 약간 작아야 한다.
• 증명의 마지막 단계가 작동하도록 h의 작은 거듭제곱이 L보다 커야 한다.
• 계수 p를 풀 수 있도록 Lⁿ은 대략 Mⁿ⁻¹h보다 커야 한다.

제약 조건은 h를 충분히 크게, M을 h의 고정된 거듭제곱, L을 h의 약간 작은 거듭제곱으로 취함으로써 충족될 수 있다. 베이커는 M을 약 h², L을 약 h^2−1/2n로 취했다.

α의 로그 사이의 선형 관계는 L을 약간 줄이는 데 사용된다. 대략적으로 말하면, 그것이 없으면 Lⁿ은 대략 Mⁿ⁻¹h보다 커야 한다는 조건이 Lⁿ은 대략 Mⁿh보다 커야 한다는 조건이 될 것이고, 이는 L이 M보다 약간 작다는 조건과 양립할 수 없다.

보조 함수의 영점

다음 단계는 Φ가 정수 l에 대해 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$ 형태의 더 많은 점에서 약간 작은 차수로 소멸함을 보이는 것이다. 이 아이디어는 베이커의 핵심 혁신이었다. 이 문제에 대한 이전 연구는 점의 수를 고정하면서 소멸하는 도함수의 수를 늘리려고 시도했지만, 다변수 경우에는 작동하지 않는 것으로 보인다. 이는 두 가지 아이디어를 결합하여 수행된다. 먼저, Φ의 많은 도함수가 많은 인접한 점에서 소멸한다는 사실을 사용하여 이들 점에서의 도함수가 상당히 작다는 것을 보여준다. 그런 다음 이 점에서의 Φ의 도함수가 대수적 정수에 알려진 상수를 곱한 값으로 주어진다는 것을 보여준다. 대수적 정수가 모든 켤레근이 알려진 상수에 의해 제한되면, 0이 아닌 이상 너무 작을 수 없다. 왜냐하면 0이 아닌 대수적 정수의 모든 켤레근의 곱은 절댓값이 최소 1이기 때문이다. 이 두 아이디어를 결합하면 Φ가 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$ 형태의 더 많은 점에서 약간 작은 차수로 소멸함을 의미한다. 이 논증 부분은 Φ가 너무 빠르게 증가하지 않아야 한다는 것을 요구한다. Φ의 증가는 L의 크기에 의존하므로 L의 크기에 대한 상한이 필요하며, 이는 대략 L이 M보다 약간 작아야 한다는 것으로 판명된다. 더 정확히 말하면, 베이커는 Φ가 h개의 연속된 정수에서 차수 M으로 소멸하기 때문에, 1, 2, 3, ...과 같은 h^1+1/8n개의 연속된 정수에서 차수 M/2로 소멸함을 보였다. 이를 J번 반복하면, h가 충분히 크고 L이 M/2^J보다 약간 작다는 조건에서 Φ는 h^1+J/8n개의 점에서 차수 M/2^J로 소멸함을 보여준다.

그런 다음 J를 충분히 크게 취한다.

${\displaystyle h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.}$

(h² > L이면 약 16n보다 큰 J가 충분하다) 따라서 다음을 만족한다.

${\displaystyle \forall l\in \left\{1,2,\ldots ,(L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots ,l)=0.}$

증명 완료

정의에 의해 ${\displaystyle \Phi (l,\ldots ,l)=0}$은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.}$

따라서 l이 변함에 따라 가정에 의해 0이 아닌 해를 갖는 (L + 1)ⁿ개의 미지수에 대한 (L + 1)ⁿ개의 동차 선형 방정식 시스템이 있으며, 이는 계수 행렬의 행렬식이 0이어야 함을 의미한다. 그러나 이 행렬은 방데르몽드 행렬이며, 이러한 행렬의 행렬식 공식은 두 값 사이의 등식을 강제한다.

${\displaystyle \alpha _{1}^{\lambda _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}}}$

따라서 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$은 곱셈적으로 종속이다. 로그를 취하면 ${\displaystyle 2\pi i,\log \alpha _{1},\ldots ,\log \alpha _{n}}$이 유리수에 대해 선형 종속임을 보여준다.

확장 및 일반화

Baker (1966)는 사실 정리의 정량적 버전을 제시하며, 로그의 선형 형식에 대한 유효한 하한을 제공한다. 이는 비슷한 논증으로 수행되지만, 0이라는 진술은 그것에 대한 작은 상한을 제공하는 진술 등으로 대체된다.

Baker (1967a)는 정리에서 2πi에 대한 가정을 제거하는 방법을 보여주었다. 이는 증명의 마지막 단계를 수정해야 한다. 위와 유사한 논증으로 함수 ${\displaystyle \phi (z)=\Phi (z,\ldots ,z)}$의 많은 도함수가 z = 0에서 소멸함을 보여준다. 그러나 첫 (L+1)ⁿ개의 도함수에 대한 이 방정식들은 다시 계수 p에 대한 동차 선형 방정식 집합을 제공하므로 행렬식은 0이 되며, 이번에는 λ₁ log α₁ + ⋯ + λ_n log α_n에 대한 방데르몽드 행렬식이다. 따라서 이 두 표현 중 두 개가 같아야 하며, 이는 log α₁,...,log α_n이 유리수에 대해 선형 종속임을 보여준다.

Baker (1967b)는 정리의 비동차 버전을 제시하여,

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}$

이 0이 아닌 대수적 수 ${\displaystyle \beta _{0},\ldots ,\beta _{n},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$에 대해 0이 아니며, 이에 대한 유효한 하한을 제공한다. 증명은 동차 경우와 유사하다. 다음을 가정할 수 있다.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

그리고 Φ에 다음과 같이 추가 변수 z₀를 삽입한다.

${\displaystyle \Phi (z_{0},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{0}}e^{\lambda _{n}\beta _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

따름정리

위에서 언급했듯이, 이 정리는 에르미트-린데만 정리와 겔폰트-슈나이더 정리와 같이 지수 함수에 관한 많은 이전의 초월성 결과를 포함한다. 아직 증명되지 않은 샤누엘의 추측만큼 포괄적이지는 않으며, 여섯 지수 정리는 물론 아직 미해결인 네 지수 추측을 함의하지도 않는다.

겔폰트가 자신의 결과를 확장하고자 했던 주된 이유는 단순히 새로운 초월수의 봇물을 위한 것이 아니었다. 1935년에 그는 겔폰트-슈나이더 정리를 증명하기 위해 개발한 도구를 사용하여 다음 양에 대한 하한을 도출했다.

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

여기서 β₁과 β₂는 대수적이고 λ₁과 λ₂는 ${\displaystyle \mathbb {L} }$에 속한다.^[2] 베이커의 증명은 위와 같은 양에 대해 임의의 많은 항을 포함하는 하한을 제공했으며, 그는 이러한 하한을 사용하여 디오판토스 방정식을 다루는 효과적인 방법을 개발하고 가우스의 판별식 문제를 해결할 수 있었다.

확장

베이커 정리는 대수적 수의 로그의 대수적 수에 대한 선형 독립성을 부여한다. 이는 이들의 대수적 독립성을 증명하는 것보다 약하다. 지금까지 이 문제에 대한 진전은 전혀 이루어지지 않았다. 만약 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$이 유리수에 대해 선형 독립인 ${\displaystyle \mathbb {L} }$의 원소라면, 이들은 대수적으로도 독립이라는 추측이 제기되었다.^[3] 이는 샤누엘의 추측의 특수한 경우이지만, 아직까지 로그가 대수적으로 독립인 두 대수적 수가 존재한다는 것조차 증명되지 않았다. 실제로 베이커 정리는 대수적 수의 로그 사이에 자명한 이유가 없는 한 선형 관계를 배제한다. 다음으로 가장 간단한 경우인 동차 이차 관계를 배제하는 것은 아직 미해결인 네 지수 추측이다.

마찬가지로, 결과를 대수적 독립성으로 확장하되 p진 설정에서 p진 로그 함수를 사용하는 것은 열린 문제로 남아 있다. 대수적 p진수의 선형 독립인 p진 로그의 대수적 독립성을 증명하면 수체의 단위군의 p진 계수에 대한 레오폴트의 추측을 증명할 수 있다는 것이 알려져 있다.

같이 보기

• 해석적 부분군 정리