베주 항등식

수론에서 베주 항등식(영어: Bézout’s identity)은 두 정수의 최대공약수를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

정의

주 아이디얼 정역 ${\displaystyle R}$ 속의 원소 ${\displaystyle a,b\in R}$가 주어졌고, ${\displaystyle d}$가 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$의 최대공약수의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 ${\displaystyle m,n\in R}$가 존재한다.

${\displaystyle ma+nb=d}$

증명:

${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이라고 하고, ${\displaystyle a,b\in R}$라고 하며 ${\displaystyle d\in R}$가 그 최대공약수의 하나라고 하자. ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이므로 ${\displaystyle Ra+Rb}$는 주 아이디얼이다. 즉,

${\displaystyle Ra+Rb=Rc}$

인 ${\displaystyle c\in R}$가 존재한다. 최대공약수의 정의에 따라

${\displaystyle Ra+Rb\subset Rd\subset Rc=Ra+Rb}$

이다. 따라서

${\displaystyle Ra+Rb=Rd}$

이며,

${\displaystyle ma+nb=d}$

인 ${\displaystyle m,n\in R}$가 존재한다.

역사

에티엔 베주가 증명하였다.

같이 보기

• 유클리드의 보조 정리
• 산술의 기본 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout's identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout numbers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.