벡터 행렬

벡터 행렬은 열 벡터와 행 벡터를 아울러 가리킨다.

선형 대수학에서 , 열 벡터(vector) 또는 열 행렬 m × 1 행렬은 , 즉 m 원소들의 단일 열행렬 이고,

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,}$

마찬가지로, 행 벡터 또는 행 행렬 1 × m 행렬은 그 원소들 m의 단일 행 행렬 이다^[1]

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}\,}$

행 벡터의 전치 행렬(T로 표기)은 열 벡터이고,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,}$

마찬가지로, 열 벡터의 전치 행렬(T로 표기)은 행 벡터이다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}\,}$

모든 행 벡터 집합은 행 공간이라는 벡터 공간을 형성하며, 마찬가지로 모든 열 벡터 집합이 열 공간이라는 벡터 공간을 형성한다.

차원의 행과 열의 공간은 행 또는 열 벡터의 엔트리의 수와 동일하다.

열 공간은 행 공간에 대한 이중 공간으로 볼 수 있다. 열 벡터 공간에서 선형 함수가 특정 행 벡터를 갖는 내적공간으로 고유하게 나타낼 수 있기 때문이다.

행벡터와 열벡터의 연산

벡터 행렬에서,

행 벡터를 ${\displaystyle 1\times m}$행렬 , 즉${\displaystyle m}$의 단일 행으로 구성된 행렬이고,

마찬가지로, 열 벡터를 ${\displaystyle m\times 1}$ 행렬, 즉, ${\displaystyle m}$ 열의 단일 열로 구성된 행렬로 예약해보면,

행(row)벡터(vector)는

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&\cdots \end{bmatrix}}}$ 이고

또는 열(column)벡터는

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\\vdots \end{bmatrix}}}$ 일때,

${\displaystyle 1\times 1\;matrix}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1a+2b\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a1+b2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle 1\times 2\;matrix}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1a+2b&1c+2d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}\cdot \;\;{\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1a+2b+3c&1d+2e+3f\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle 2\times 1\;matrix}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a1+b2\\c1+d2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\cdot \;\;{\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a1+b2+c3\\d1+e2+f3\\g1+h2+i3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A=l\times m\;matrix,\;B=m\times n\;matrix\;}$ 일때,

${\displaystyle A\;matrix\;\cdot \;B\;matrix}$벡터 연산시 행(${\displaystyle A}$의${\displaystyle m}$)의 원소 수와 열(${\displaystyle B}$의${\displaystyle m}$)의 원소 수는 같아야 한다.

이때, ${\displaystyle A}$는 행벡터들을 갖고, ${\displaystyle B}$는 열벡터들을 갖게 된다.

연산된 행열의 크기는 ${\displaystyle A\;}$의 ${\displaystyle l}$${\displaystyle \;,\;B}$의${\displaystyle n}$인 ${\displaystyle l\times n\;matrix}$이다.

같이 보기

• 그람-슈미트 과정
• 고윳값 행렬(Eigenvalue Matrix)