변형 수축

호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 공간 ${\displaystyle i\colon A\hookrightarrow X}$에 대하여, 만약 연속 함수 ${\displaystyle r\colon X\to A}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle r}$를 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle A}$로의 약한 변형 수축이라고 한다.

• ${\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{A}}$
• ${\displaystyle i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}}$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq &\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to A}$가 존재하여야 한다.

${\displaystyle h(x,0)=x\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle r(a)=a\qquad \forall a\in A}$

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 공간 ${\displaystyle i\colon A\hookrightarrow X}$에 대하여, 만약 연속 함수 ${\displaystyle r\colon X\to A}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle r}$를 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle A}$로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.^[1]:2[2]:361

• ${\displaystyle r\circ i=\operatorname {id} _{A}}$
• ${\displaystyle i\circ r\simeq \operatorname {id} _{X}\quad (\operatorname {rel} A)}$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &=&\downarrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&X\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\uparrow &\simeq \operatorname {rel} A&\uparrow {\scriptstyle \operatorname {id} }\\A&{\xleftarrow[{r}]{}}&X\end{matrix}}}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to A}$가 존재하여야 한다.

${\displaystyle h(x,0)=x\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle h(x,1)\in A\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle h(x,1)=r(x)\qquad \forall x\in X}$

${\displaystyle h(a,t)=a\qquad \forall a\in A,\;t\in [0,1]}$

성질

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 약한 변형 수축 ${\displaystyle A\subseteq X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle X}$와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle Y}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:16, Corollary 0.21}

• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 (강하게) 호모토피 동치이다.
• 어떤 위상 공간 ${\displaystyle Z}$ 및 포함 사상 ${\displaystyle X\hookrightarrow Z}$ 및 ${\displaystyle Y\hookrightarrow Z}$에 의하여, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$는 둘 다 ${\displaystyle Z}$의 약한 변형 수축이다.
• 어떤 위상 공간 ${\displaystyle Z}$ 및 포함 사상 ${\displaystyle X\hookrightarrow Z}$ 및 ${\displaystyle Y\hookrightarrow Z}$에 의하여, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$는 둘 다 ${\displaystyle Z}$의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 축약 가능 공간이다.
• ${\displaystyle \{x\}}$가 ${\displaystyle X}$의 약한 변형 수축을 이루는 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^{[1]:18, Exercise 0.6b, 0.7}

예

원점을 제거한 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$의 부분 공간인 ${\displaystyle n-1}$차원 초구

${\displaystyle S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\colon \|\mathbf {x} \|=1\}}$

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

${\displaystyle h\colon \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\right)\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle h\colon (\mathbf {x} ,t)\mapsto \|\mathbf {x} \|^{-t}\mathbf {x} }$

역사

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.^[3]