보골류보프 변환

물리학에서 보골류보프 변환(Bogoliubov transformation)은 서로 다른 두 정준 (반)교환 대수 사이를 연관짓는 변환이다.

역사

니콜라이 보골류보프가 1947년에 초유체를 다루기 위하여 도입하였다.^[1]

정의

${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle a^{\dagger }}$가 소멸 및 생성 연산자라고 하자. 즉,

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}$

${\displaystyle [a,a]=[a^{\dagger },a^{\dagger }]=0}$

이라고 하자. 이를 정준 교환 관계(canonical commutation relation, 약자 CCR)이라고 한다. 정준 교환 관계는 다음과 같은 선형변환 아래 불변이다.

${\displaystyle {\tilde {a}}=a\exp(i\theta _{1})\cosh r+a^{\dagger }\exp(i\theta _{2})\sinh r}$

${\displaystyle {\tilde {a}}^{\dagger }=a\exp(-i\theta _{2})\sinh r+a^{\dagger }\exp(-i\theta _{1})\cosh r}$.

이러한 변환을 보골류보프 변환이라고 한다.

마찬가지로, 페르미온의 정준 반교환 관계(canonical anticommutation relation, 약자 CAR)

${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$

${\displaystyle \{b,b\}=\{b^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

도 다음과 같은 보골류보프 변환 아래 불변이다.

${\displaystyle {\tilde {b}}=b\exp(i\theta _{1})\cos r+b^{\dagger }\exp(i\theta _{2})\sin r}$

${\displaystyle {\tilde {b}}^{\dagger }=b\exp(-i\theta _{2})\sin r+b^{\dagger }\exp(-i\theta _{1})\cos r}$.

진공 ${\displaystyle |0\rangle }$은 모든 소멸 연산자에 의하여 소멸되는 상태로 정의된다.

${\displaystyle a_{i}|0\rangle =0\forall i}$

보골류보프 변환을 가하면 소멸 연산자가 바뀌게 되므로, 이에 따라 일반적으로 진공 상태도 달라진다. 즉, 변환된 소멸 연산자에 대한 진공 상태를 ${\displaystyle |{\tilde {0}}\rangle }$이라고 하면,

${\displaystyle {\tilde {a}}_{i}|{\tilde {0}}\rangle =0\forall i}$

일반적으로 두 진공 상태는 다르다.

${\displaystyle |0\rangle \neq |{\tilde {0}}\rangle }$.