사다리 연산자

양자역학에서 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의

주어진 에르미트 연산자 ${\displaystyle N}$에 대하여, 연산자 ${\displaystyle X}$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle N}$의 사다리 연산자라고 한다.

${\displaystyle [N,X]=cX}$

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$

즉,

${\displaystyle X|n\rangle \sim |n+c\rangle }$

이다. c 가 양수인 경우 ${\displaystyle X}$는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 ${\displaystyle X}$를 올림 연산자, c가 음수인 경우 ${\displaystyle X}$는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 ${\displaystyle X}$를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 ${\displaystyle X}$의 에르미트 수반 연산자 ${\displaystyle X^{\dagger }}$ 또한 사다리 연산자이며

${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }}$

고유벡터의 고유값을 ${\displaystyle X}$의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, ${\displaystyle N}$의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle c<0}$이며 ${\displaystyle N}$의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 ${\displaystyle |n_{\text{max}}\rangle }$가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 ${\displaystyle X}$를 사용하여

${\displaystyle |n\rangle ,X|n\rangle ,X^{2}|n\rangle ,\cdots }$

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자${\displaystyle X^{\dagger }}$를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예

양자 조화 진동자

 이 부분의 본문은 양자 조화 진동자입니다.

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

${\displaystyle [x,p]=i}$

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 ${\displaystyle a}$와 생성 연산자 ${\displaystyle a^{\dagger }}$ 및 입자수 연산자 ${\displaystyle N}$을 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle a=(x+ip)/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a^{\dagger }=(x-ip)/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle N=a^{\dagger }a}$

여기서 ${\displaystyle N}$은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle p}$는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

${\displaystyle [N,a]=-a}$

${\displaystyle [H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }}$

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}$

이다. 따라서, ${\displaystyle N}$의 고유벡터 ${\displaystyle |n\rangle }$이 주어지면

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle }$

${\displaystyle a|n\rangle \propto |n-1\rangle }$

${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle }$

이 된다. 즉, 바닥 상태 ${\displaystyle |0\rangle }$으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|0\rangle ,a^{\dagger }|0\rangle ,(a^{\dagger })^{2}|0\rangle ,\dots \right\}}$

각운동량

 이 부분의 본문은 각운동량 연산자입니다.

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3}}$은 SU(2)의 리 대수

${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{k}}$

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

${\displaystyle J_{+}=J_{1}+iJ_{2}}$,

${\displaystyle J_{-}=J_{1}-iJ_{2}=(J_{+})^{\dagger }}$

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

${\displaystyle [J_{3},J_{\pm }]=\pm J_{\pm }}$

따라서, 상태들을 ${\displaystyle J_{3}}$의 고유상태 ${\displaystyle |m\rangle }$로 나타내면,

${\displaystyle J_{\pm }|m\rangle \propto |m\pm 1\rangle }$

이 된다. 최고 스핀 상태 ${\displaystyle |l\rangle }$는 ${\displaystyle J_{+}}$로 상쇄되는 상태이다.

${\displaystyle J_{+}|l\rangle =0}$

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|l\rangle ,J_{-}^{\dagger }|0\rangle ,(J_{-})^{2}|0\rangle ,\dots \right\}}$

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, ${\displaystyle l}$은 정수 또는 반정수이며, 또한

${\displaystyle (J_{-})^{2l+1}|l\rangle =0}$

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 ${\displaystyle 2l\in \mathbb {N} }$에 의해 결정되며, 그 차원은 ${\displaystyle 2l+1}$이다.

단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다.^[1] 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수

 이 부분의 본문은 등각 대칭입니다.

 이 부분의 본문은 등각 장론입니다.

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

${\displaystyle [D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }}$

${\displaystyle [D,P_{\mu }]=iP_{\mu }}$

${\displaystyle [K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }}$

${\displaystyle [K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })}$

${\displaystyle [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })}$

따라서, ${\displaystyle -iD}$에 대하여,

${\displaystyle [-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }}$

${\displaystyle [-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }}$

이므로, 특수 등각 변환 ${\displaystyle K}$는 내림 연산자, 운동량 ${\displaystyle P}$는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 ${\displaystyle D}$가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. ${\displaystyle K}$에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 ${\displaystyle D}$와 ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 ${\displaystyle P}$를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.

비라소로 대수

 이 부분의 본문은 2차원 등각 장론입니다.

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m+1)m(m-1)\delta _{m+n}\quad (m,n\in \mathbb {Z} )}$

따라서, ${\displaystyle L_{0}}$에 대하여, ${\displaystyle L_{n}}$은 내림 연산자, ${\displaystyle L_{-n}}$은 올림 연산자이다 (${\displaystyle n>0}$).

${\displaystyle [L_{0},L_{n}]=-nL_{n}}$

${\displaystyle [L_{0},L_{-n}]=nL_{-n}}$

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(영어: primary state) ${\displaystyle |h\rangle }$로 알려져 있으며, ${\displaystyle L_{0}}$의 고윳값 ${\displaystyle h}$로 나타내어진다.

${\displaystyle L_{0}|h\rangle =h|h\rangle }$

${\displaystyle L_{n}|h\rangle =0\forall n>0}$

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 ${\displaystyle L_{-n}}$을 가하여 만들 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{h}=\operatorname {Span} \{|h\rangle ,L_{-1}|h\rangle ,L_{-1}^{2}|h\rangle ,L_{-2}|h\rangle ,L_{-1}^{3}|h\rangle ,\dots \}}$

이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.

같이 보기

• 양자 조화 진동자
• 슈발레 기저