보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.^[1][2][3][4]

정의

보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 속 사건의 열 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})<\infty }$라면, ${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0}$이다.
• (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty }$이며 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$가 독립이라면, ${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=1}$이다.

제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라

${\displaystyle 0=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})\geq \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}$

이다. 따라서

${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0}$

이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.

${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{\infty }1_{A_{i}}}$

그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle \infty >\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\operatorname {E} (N)\geq \infty \cdot \operatorname {Pr} (N=\infty )=\infty \cdot \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}$

따라서

${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)=0}$

이다.

제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.

${\displaystyle 1-x\leq \exp(-x)}$

이 부등식과 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$의 독립성에 따라, 임의의 ${\displaystyle n=1,2,\dots }$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)&=\lim _{m\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{m}(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=\lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}(1-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{i=n}^{m}\exp(-\operatorname {Pr} (A_{i}))\\&=\lim _{m\to \infty }\exp \left(-\sum _{i=n}^{m}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)\\&=0\end{aligned}}}$

따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)&=1-\operatorname {Pr} \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1-\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} \left(\bigcap _{i=n}^{\infty }(\Omega \setminus A_{i})\right)\\&=1\end{aligned}}}$

일반화

제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

코첸-스톤 부등식

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 속 사건의 열 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$에 대하여,

${\displaystyle L=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{i,j=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})}{\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)^{2}}}}$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^[2]

• ${\displaystyle L\geq 1}$
• 만약 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty }$라면, ${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/L}$이다.
  • 특히, 만약 ${\displaystyle L<\infty }$라면 위 확률은 0보다 크다.
  • 특히, 만약 ${\displaystyle L=1}$이라면 위 확률은 1이다.^{[1]:88, §[1.]6, Theorem 6.3}
• 만약 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty }$이며 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$가 쌍마다 독립이라면, ${\displaystyle L=1}$이다.^{[1]:89, §[1.]6, Example 6.4} 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

페트로프의 일반화

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 속 사건의 열 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ 및 임의의 실수 ${\displaystyle H\in \mathbb {R} }$에 대하여,

${\displaystyle \alpha _{H}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq i<j\leq n}(\operatorname {Pr} (A_{i}\cap A_{j})-H\operatorname {Pr} (A_{i})\operatorname {Pr} (A_{j}))}{\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Pr} (A_{i})\right)^{2}}}}$

라고 하자. 그렇다면, 만약

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Pr} (A_{i})=\infty }$

라면,

${\displaystyle \operatorname {Pr} \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\geq 1/(H+2\alpha _{H})}$

이다.^[4]

특히, 코첸-스톤 부등식은 ${\displaystyle H=0}$인 특수한 경우이다.

역사

에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다.^[2] 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.^[3][4]

같이 보기

• 무한 원숭이 정리