단조 수렴 정리

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실해석학에서 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 가측 함수의 증가 함수열의 르베그 적분과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

정의

측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 위의 음이 아닌 가측 함수의 열 ${\displaystyle f_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,\infty ]}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• (증가 함수열) 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$
• (점별 수렴) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

단조 수렴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]:30

• ${\displaystyle f}$는 가측 함수이다.
• ${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu }$

이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 ${\displaystyle g_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}}$는 가측 함수이다.
• ${\displaystyle \int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{X}g_{n}d\mu }$

증명:

임의의 ${\displaystyle a\in [0,\infty ]}$에 대하여, 각 ${\displaystyle f_{n}}$이 가측 함수이므로, ${\displaystyle f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }$이며, 따라서

${\displaystyle f^{-1}([0,a])=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f_{n}^{-1}([0,a])\in \Sigma }$

이다. 즉, ${\displaystyle f}$는 가측 함수이다.

임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle \forall x\in X\colon f_{n}(x)\leq f(x)}$이므로,

${\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu }$

이며, 이에 ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu \leq \int _{X}fd\mu }$

을 얻는다.

이제, ${\displaystyle \forall x\in X\colon s(x)\leq f(x)}$인 임의의 단순 함수 ${\displaystyle s}$와 임의의 ${\displaystyle 0<\alpha <1}$을 고정하고, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여

${\displaystyle A_{n}=\{x\in X\colon \alpha s(x)\leq f_{n}(x)\}\in \Sigma }$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots }$이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여,

${\displaystyle \alpha \int _{A_{n}}sd\mu \leq \int _{A_{n}}f_{n}d\mu \leq \int _{X}f_{n}d\mu }$

이다. ${\displaystyle n\to \infty }$을 취하면

${\displaystyle \alpha \int _{X}sd\mu \leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu }$

를 얻는다. 이는

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}a_{i}1_{S_{i}}\qquad (a_{i}\in [0,\infty ),\;S_{i}\in \Sigma )}$

라고 할 때

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}}sd\mu =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mu (S_{i}\cap A_{n})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mu (S_{i}\cap X)=\int _{X}sd\mu }$

이기 때문이다. 이제 ${\displaystyle \alpha \to 1}$을 취하면

${\displaystyle \int _{X}sd\mu \leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu }$

를 얻는다. 르베그 적분의 정의에 따라,

${\displaystyle \int _{X}fd\mu \leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu }$

이다.

따라서 양쪽 방향의 부등호가 성립하므로

${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu }$

을 얻는다.

따름정리

급수에 대한 푸비니 정리

 이 부분의 본문은 푸비니 정리입니다.

단조 수렴 정리를 자연수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 셈측도 공간 ${\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),|\cdot |)}$에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 ${\displaystyle (a_{mn})_{m,n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty ]}$에 대하여, 다음이 성립한다.^[2]:168

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{mn}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{mn}}$

절대 연속 측도

 이 부분의 본문은 절대 연속 측도입니다.

임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 음이 아닌 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$에 대하여, 함수

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu \qquad (A\in \Sigma )}$

는 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 위의 측도를 이루며, 또한 이는 ${\displaystyle \mu }$-절대 연속 측도를 이룬다 (즉, ${\displaystyle \mu (A)=0}$은 ${\displaystyle \nu (A)=0}$을 함의한다).

증명:

임의의 가산 무한 개의 서로소 집합 ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \subseteq \Sigma }$에 대하여, 각 ${\displaystyle f1_{A_{n}}}$은 음이 아닌 가측 함수이므로, 단조 수렴 정리에 따라

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}\right)=\int _{X}f1_{\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}d\mu =\int _{X}\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }f1_{A_{n}}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\nu (A_{n})}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \nu }$는 측도이다.

만약 ${\displaystyle A\in \Sigma }$이며 ${\displaystyle \mu (A)=0}$이라면, ${\displaystyle \mu }$-거의 어디서나 ${\displaystyle f1_{A}=0}$이므로,

${\displaystyle \nu (A)=\int f1_{A}d\mu =0}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \nu }$는 ${\displaystyle \mu }$-절대 연속 측도이다.

같이 보기

• 파투 보조정리
• 지배 수렴 정리