콤팩트 리만 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 로런츠 다양체
위의, 질량
의 자유 보손 장
를 생각하자. 이는 다음과 같은 작용에 의하여 나타내어진다.

여기서 윗점은 시간 좌표
에 대한 미분이며,
는 공간 좌표에 대한 미분이다. 이에 대한 해밀토니언은 다음과 같다.
![{\displaystyle H[\phi ,\pi ]=\int _{M}{\sqrt {\det g}}{\frac {1}{2}}(g_{ij}\pi ^{i}\pi ^{j}+g^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi +m^{2}\phi ^{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c0eb2ae4ccf76ce13e5a3981158edb5cc2de05)
여기서
는
에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 힐베르트 공간은 포크 공간을 구성하게 된다. 구체적으로, 1입자 힐베르트 공간과 그 위의 1입자 해밀토니언
을 다음과 같이 정의할 수 있다.


그렇다면, 다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언
은 그 위의 포크 공간으로 주어진다.

이 위의 해밀토니언 연산자
는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성된다. 또한, 입자수 연산자

를 정의할 수 있다. 이는 등급 벡터 공간의 등급에 해당하며, 그 고윳값들은 자연수이다.
이제, 이 계의 큰 분배 함수

를 정의할 수 있다. 이는 큰 바른틀 앙상블에 해당한다. 여기서

는 절대 온도의 역수이며,

는 퓨가시티이며,
는 화학 퍼텐셜이다. 이 큰 분배 함수로 나타내어지는 통계역학적 계를 이상 보스 기체라고 한다. ‘이상 기체’라는 것은 포크 공간 위의 해밀토니언 연산자에 입자 사이의 상호 작용을 나타내는 항을 추가하지 않았기 때문이다 (즉, 입자 사이의 상호 작용이 없어, 입자들은 자유 입자이다).
큰 분배 함수는 다음과 같이 표현된다. (중복수를 고려한)
의 고윳값들의 중복집합을
라고 하면, 큰 분배 함수는 다음과 같이 분해된다.

큰 분배 함수의 로그 × −1인 큰 퍼텐셜
는 다음과 같다.

열역학적 극한
편의상, 진공 에너지를 0으로 놓자.
위의 라플라스-벨트라미 연산자

의 스펙트럼은 다음 조건을 만족시킨다.

(유클리드 공간 속의 매끄러운 경계를 가진 닫힌집합에서, 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 가했을 때도 이 조건이 성립한다.)
여기서
는
의
이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다.
는
의 차원이며,
는
의
차원 부피이며,

는
차원 단위 공의 부피이다. 편의상 비례 상수를

라고 적자. 즉,

이다. 이 표현을 통하여, 디랙 델타로 구성된 측도

를

로 근사할 수 있다. 이는
가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된
의 값에 대하여
,


와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는
의 등각 다양체 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는

이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.
다만,
일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서
가
에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우
인 경우는 따로 고려해야 한다.
즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 토머스-페르미 근사라고 한다.)

이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한

및 상대론적인 극한

의 경우 이는 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서

이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면

이 된다. 여기서, 첫 항
은 입자의 정지 에너지이므로, 이는 퓨가시티가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우


를 정의하면,

이다. 이를 계산하면 다음과 같다.
여기서

는 다중로그 함수이며,
는 감마 함수이다.
적분의 계산:
으로 놓자.

여기서


와 같은 치환을 사용하였으며, 테일러 급수

를 사용하였다.
이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.
일 때, 피적분량이
극한에서 발산한다. 따라서, 이 경우를 따로 다루어야 한다.
이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.

여기서
은 바닥 상태의 고윳값의
의 중복수이며,
를 비롯한 다른 비례 상수들을
에 흡수하였다. 또한 변수

를 정의하였다. 이 표현은
가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.
상대론적 입자
반대로,
극한을 생각하자. 이 경우

가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,

이다. 이 경우 변수
를


로 치환하면,

가 된다. 즉, 이 경우

이 된다.